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En este post ya calculamos los corchetes de Lie para los elementos de la base \{ \hat{e}_i\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi \}. Vamos a calcular ahora los coeficientes de conmutacion c_{ijk} (todas las r, \theta, \varphi que aparecen a continuación son \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}).

Como [\hat{e}_i,\hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k, entonces:

[\hat{e}_1,\hat{e}_2] = c_{12}^{\phantom{12}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_2 \rightarrow c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r} = -c_{\theta r}^{\phantom{r \theta} \theta}

[\hat{e}_1,\hat{e}_3] = c_{13}^{\phantom{13}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r} = -c_{\varphi r}^{\phantom{r \varphi} \varphi}

[\hat{e}_2,\hat{e}_3] = c_{23}^{\phantom{23}m} \hat{e}_m = -\frac{\cot \theta}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r} = -c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi}

Vamos a calcular ahora los tres coeficientes de rotación de Ricci que, por tener indices covariantes diferentes, podrían no ser simétricos en la base ortonormal, cuando si lo son en una holonómica. Empezamos por los correspondientes a los Christoffel \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r}:

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta r \theta} + c_{\theta \theta r} - c_{r \theta \theta}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\theta r \theta} = \eta_{\theta i} c_{\theta r}^{\phantom{\theta r}i} = c_{\theta r}^{\phantom{\theta r} \theta} = \frac{1}{r}

c_{\theta \theta r} = \eta_{r i} c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta}i} = c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta} r} = 0

c_{r \theta \theta} = \eta_{\theta i} c_{r \theta}^{\phantom{r \theta}i} = c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta \theta r} + c_{\theta r \theta} - c_{\theta r \theta}) = \frac{1}{2} c_{\theta \theta r} = 0

y vemos que, efectivamente, ahora no son simétricos. Seguimos con los correspondientes a \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r}:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi r \varphi} + c_{\varphi \varphi r} - c_{r \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\varphi r \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r}i} = c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r} \varphi} = \frac{1}{r}

c_{\varphi \varphi r} = \eta_{r i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} r} = 0

c_{r \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi}i} = c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi r} + c_{\varphi r \varphi} - c_{\varphi r \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi r} = 0

Finalmente, los últimos que pierden su simetría son:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \theta \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \theta \varphi} + c_{\varphi \varphi \theta} - c_{\theta \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{\cot \theta}{r} + \frac{\cot \theta}{r}) = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \theta \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta}i} = c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi} = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \varphi \theta} = \eta_{\theta i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} \theta} = 0

c_{\theta \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi}i} = c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi \theta} + c_{\varphi \theta \varphi} - c_{\varphi \theta \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi \theta} = 0

Existe una manera alternativa de realizar todos estos cálculos, que dejaremos para un futuro post, utilizando las formas de conexión, las ecuaciones de estructura de Cartan asumiendo torsión nula y la derivada exterior.

En la geometría de Riemann, podemos calcular una connexión \nabla a partir de su tensor métrico (la conexión de Levi-Civita). Esta derivación covariante es libre de torsión, por lo que el tensor de Ricci R_{\alpha \beta} debe ser simétrico. Hoy el profesor Juan Antonio Morales me ha introducido en la geometría de Riemann-Cartan, donde el tensor de Ricci puede ser asimétrico gracias a la existencia de un campo de torsión afín sobre la variedad. Lo que tenemos entonces es una conexión de Cartan.

Parece ser que esto permite el intercambio, para la conservación total del momento, entre espín y momento angular orbital.

Básicamente, podemos pensar la geometría diferencial desde el punto de vista de las bases coordenadas (naturales u holonómicas), donde los conmutadores (las derivadas de Lie \mathcal{L}_X Y := [X,Y] entre los campos coordenados, que intuitivamente miden la diferencia entre el arrastre del segundo campo mediante el primero respecto de su valor real en el punto final) son nulos, o pensarla desde el punto de vista de bases no coordenadas formadas por n campos vectoriales cualesquiera, si estamos en dimensión n, donde los corchetes de Lie ahora no son nulos.

Todo esto enlaza con este post y la manera de calcular los coeficientes de la conexión \gamma^{i}_{\phantom{i}jk}, introducidos en este post, para una base dada.

La fórmula para los símbolos de la conexión de Levi-Civita en una base \{e_i\} cualquiera es:

\gamma^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} g^{lm} (e_k(g_{mj}) + e_j(g_{mk}) - e_m(g_{jk}) + c_{mjk} + c_{mkj} - c_{jkm}),

donde:

c_{jkm} = g_{mi}c_{jk}^{\phantom{jk}i} y [e_j,e_k] = c_{jk}^{\phantom{jk}i} e_i.

En una base coordenada \{ \partial_i \} tenemos que c_{mjk} = c_{mkj} = c_{jkm} = 0, por lo que:

\Gamma^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} g^{lm} (\partial_k(g_{mj}) + \partial_j(g_{mk}) - \partial_m(g_{jk})),

mientras que en una base ortonormal \{ \hat{e}_i\} tenemos que \hat{e}_i(g_{jk}) = 0 y, por tanto:

\hat{\gamma}^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} \eta^{lm} (c_{mjk} + c_{mkj} - c_{jkm}).

Los resultados presentados en este post son incorrectos 😦 .

El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero:

[e_i,e_j] = 0 si i \neq j.

Pero si la base no es holonómica, entonces la definición incorpora tres términos más, los coeficientes de conmutación de la base, y llamamos a los símbolos coeficientes de la conexión. Si la base es ortonormal, estos reciben el nombre de coeficientes de rotación de Ricci.

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