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Coordenadas cartesianas compactificadas: símbolos de Christoffel, coeficientes de rotación de Ricci y sus correspondientes derivadas covariantes de campos vectoriales y 1-formas

febrero 11, 2014 in Geometría, Matemáticas | Tags: 1-forma, campo vectorial, coeficientes rotación Ricci, compactificar, coordenadas esféricas, derivada covariante, símbolos Christoffel | 2 comentarios

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Compactificaremos de dos manera diferentes:

$\boxed{\boxed{x = a \, \mbox{arctanh} \, \bar{x}, y = b \, \mbox{arctanh} \, \bar{y}, z = c \, \mbox{arctanh} \, \bar{z} }}$

Para la base $\{ \partial_{\bar{x}}, \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}}\}$ , los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan (utilizamos $X,Y,Z$ en Mathematica para representar $\bar{x},\bar{y},\bar{z}$ ):

Para la base $\{ \frac{|-1+\bar{x}^2|}{a} \partial_{\bar{x}}, \frac{|-1+\bar{y}^2|}{b} \partial_{\bar{y}}, \frac{|-1+\bar{z}^2|}{c} \partial_ {\bar{z}}\}$ , los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

$\boxed{\boxed{x = a \tan \frac{\pi \bar{x}}{2}, b \tan \frac{\pi \bar{y}}{2}, c \tan \frac{\pi \bar{z}}{2} }}$

Para la base $\{ \partial_{\bar{x}}, \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}}\}$ , los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

Para la base $\{ \frac{1+\cos (\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}}, \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}}, \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_ {\bar{z}}\}$ , los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

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Coordenadas esféricas compactificadas: símbolos de Christoffel, coeficientes de rotación de Ricci y sus correspondientes derivadas covariantes de campos vectoriales

febrero 5, 2014 in Geometría, Matemáticas | Tags: 1-forma, campo vectorial, coeficientes rotación Ricci, compactificar, coordenadas esféricas, derivada covariante, símbolos Christoffel | 1 comentario

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Compactificaremos de tres manera diferentes:

$\boxed{\boxed{r = \frac{a \bar{r}}{1 - \bar{r}}}}$ (y no $\frac{a \bar{r}}{a - \bar{r}}$ como escribimos en este post)

Para la base $\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}$ , los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan ( $\bar{r}$ lo representamos mediante $R$ en Mathematica):

Para la base $\{ \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}}\csc \theta \partial_ {\varphi}\}$ , los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

$\boxed{\boxed{r=a\, \mbox{arctanh} \bar{r}}}$

Para la base $\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}$ , los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

Para la base $\{ \frac{1-\bar{r}^2}{a}\partial_{\bar{r}}, \frac{1}{a\, \mbox{\scriptsize arctanh}\, \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{a\, \mbox{\scriptsize arctanh} \,\bar{r}} \partial_ {\varphi}\}$ , los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

$\boxed{\boxed{r = a \tan \frac{\pi \bar{r}}{2}}}$

Para la base $\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}$ , los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

Para la base $\{ \frac{1+\cos \pi \bar{r}}{a \pi} \partial_{\bar{r}}, \frac{\cot \frac{\pi \bar{r}}{2}}{a} \partial_{\theta}, \frac{\cot \frac{\pi \bar{r}}{2}}{a} \csc \theta \partial_ {\varphi}\}$ , los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

Coordenadas esféricas: símbolos de Christoffel, coeficientes de rotación de Ricci y sus correspondientes derivadas covariantes de campos vectoriales y 1-formas

febrero 4, 2014 in Geometría, Matemáticas | Tags: 1-forma, campo vectorial, coeficientes rotación Ricci, coordenadas esféricas, derivada covariante, símbolos Christoffel | 1 comentario

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Para la base $\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}$ , los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

Para la base $\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{r} \partial_ {\varphi}\}$ , los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

Coordenadas cilíndricas: símbolos de Christoffel, coeficientes de rotación de Ricci y sus correspondientes derivadas covariantes de campos vectoriales

febrero 3, 2014 in Geometría, Matemáticas | Tags: 1-forma, campo vectorial, coeficientes rotación Ricci, coordenadas cilíndricas, derivada covariante, símbolos Christoffel | 5 comentarios

Ya tenemos nuestra función lista para realizar todos estos cálculos de manera automática.

Para la base $\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_z\}$ , los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

Para la base $\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \partial_ z\}$ , los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

Laplaciano, coeficientes de rotación de Ricci y derivada covariante en esféricas compactificadas normalizadas

enero 29, 2014 in Geometría, Matemáticas, PDE | Tags: coeficientes rotación Ricci, derivada covariante, esféricas compactificadas normalizadas, Laplaciano | Deja un comentario

Considerando las dos bases, holonómica y ortonormal, para el espacio tangente introducidas en este post:

$\{ e_i \} = \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}$ ,

$\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}\partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \}$ ,

tenemos que:

$\hat{e}_1 = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}e_1$ , $\hat{e}_2 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} e_2$ y $\hat{e}_3 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta e_3$ ,

y, por tanto:

$A_{\hat{i}}^{i} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \end{array} \right)$ i $A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} \sin \theta \end{array} \right)$ .

Vamos a encontrar la expresión de las derivadas covariante en la base normalizada mediante cambios de base. Antes de empezar, dos consideraciones: en primer lugar, $T^i$ y $T^{\hat{i}}$ son tensores una vez contravariante, o lo que es lo mismo, son campos vectoriales. Por la linealidad de la conexión, podemos centrarnos en la derivada covariante de los elementos de la base. En segundo lugar, las derivadas parciales no afectan a los escalares, que están sobre la variedad y no en el espacio tangente.

Empezamos:

$\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}}$ ,

$\partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}}(\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} =$

$= -\frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}}$ ,

con lo que:

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}}}$ .

Para:

$\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}}$ ,

$\partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta}) + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}} T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}}) + \frac{a}{a\bar{r} -\bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}} =$

$= \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = -\frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}}$ ,

tenemos:

$\frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} \Leftrightarrow \boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}}}$

Procediendo de la misma manera, obtenemos:

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} }$ ,

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} - T^{\hat{\theta}} ] }$ ,

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} + T^{\hat{\bar{r}}} ] }$ ,

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} }$ ,

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} - \sin \theta T^{\hat{\varphi}}] }$ ,

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} - \cos \theta T^{\hat{\varphi}}] }$ ,

$\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} + \sin \theta T^{\hat{\bar{r}}} + \cos \theta T^{\hat{\theta}} }$ .

Calculo de los coeficientes de conmutación y de los de rotación de Ricci

enero 15, 2014 in Geometría, Matemáticas | Tags: coeficientes conexión, coeficientes conmutación, coeficientes rotación Ricci, corchete Lie, símbolos Christoffel | Deja un comentario

En este post ya calculamos los corchetes de Lie para los elementos de la base $\{ \hat{e}_i\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi \}$ . Vamos a calcular ahora los coeficientes de conmutacion $c_{ijk}$ (todas las $r, \theta, \varphi$ que aparecen a continuación son $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$ ).

Como $[\hat{e}_i,\hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k$ , entonces:

$[\hat{e}_1,\hat{e}_2] = c_{12}^{\phantom{12}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_2 \rightarrow c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r} = -c_{\theta r}^{\phantom{r \theta} \theta}$

$[\hat{e}_1,\hat{e}_3] = c_{13}^{\phantom{13}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r} = -c_{\varphi r}^{\phantom{r \varphi} \varphi}$

$[\hat{e}_2,\hat{e}_3] = c_{23}^{\phantom{23}m} \hat{e}_m = -\frac{\cot \theta}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r} = -c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi}$

Vamos a calcular ahora los tres coeficientes de rotación de Ricci que, por tener indices covariantes diferentes, podrían no ser simétricos en la base ortonormal, cuando si lo son en una holonómica. Empezamos por los correspondientes a los Christoffel $\Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r}$ :

$\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta r \theta} + c_{\theta \theta r} - c_{r \theta \theta}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}$

$c_{\theta r \theta} = \eta_{\theta i} c_{\theta r}^{\phantom{\theta r}i} = c_{\theta r}^{\phantom{\theta r} \theta} = \frac{1}{r}$

$c_{\theta \theta r} = \eta_{r i} c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta}i} = c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta} r} = 0$

$c_{r \theta \theta} = \eta_{\theta i} c_{r \theta}^{\phantom{r \theta}i} = c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r}$

$\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta \theta r} + c_{\theta r \theta} - c_{\theta r \theta}) = \frac{1}{2} c_{\theta \theta r} = 0$

y vemos que, efectivamente, ahora no son simétricos. Seguimos con los correspondientes a $\Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r}:$

$\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi r \varphi} + c_{\varphi \varphi r} - c_{r \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}$

$c_{\varphi r \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r}i} = c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r} \varphi} = \frac{1}{r}$

$c_{\varphi \varphi r} = \eta_{r i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} r} = 0$

$c_{r \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi}i} = c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r}$

$\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi r} + c_{\varphi r \varphi} - c_{\varphi r \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi r} = 0$

Finalmente, los últimos que pierden su simetría son:

$\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \theta \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \theta \varphi} + c_{\varphi \varphi \theta} - c_{\theta \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{\cot \theta}{r} + \frac{\cot \theta}{r}) = \frac{\cot \theta}{r}$

$c_{\varphi \theta \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta}i} = c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi} = \frac{\cot \theta}{r}$

$c_{\varphi \varphi \theta} = \eta_{\theta i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} \theta} = 0$

$c_{\theta \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi}i} = c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r}$

$\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi \theta} + c_{\varphi \theta \varphi} - c_{\varphi \theta \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi \theta} = 0$

Existe una manera alternativa de realizar todos estos cálculos, que dejaremos para un futuro post, utilizando las formas de conexión, las ecuaciones de estructura de Cartan asumiendo torsión nula y la derivada exterior.

Bases coordenadas u holonómicas y coeficientes de la conexión

enero 7, 2014 in Geometría, Matemáticas | Tags: base coordenada, base holonómica, coeficientes conexión, coeficientes rotación Ricci, corchete Lie, símbolos Christoffel | 2 comentarios

Los resultados presentados en este post son incorrectos 😦 .

El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero:

$[e_i,e_j] = 0$ si $i \neq j$ .

Pero si la base no es holonómica, entonces la definición incorpora tres términos más, los coeficientes de conmutación de la base, y llamamos a los símbolos coeficientes de la conexión. Si la base es ortonormal, estos reciben el nombre de coeficientes de rotación de Ricci.

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