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Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica (J \neq 0 y Q = 0). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

g = - (1-\frac{2Mr}{\Sigma})dt \otimes dt - \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}dt \tilde{\otimes} d\varphi +

+ \frac{\Sigma}{\Delta}dr \otimes dr + \Sigma d\theta \otimes d\theta + (r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta}{\Sigma})sin^2\theta d\varphi \otimes d\varphi

donde a:=\frac{J}{M}, \Delta:= r^2 - 2Mr + a^2 y \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \theta. El agujero negro está rotando en la dirección +\varphi y el espín está restringido al rango 0 \leq \frac{a}{M} \leq 1. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando a=0.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en 4 dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

\left(  \begin{array}{cccc}  -1+\frac{2 M \text{x2}}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} \\  0 & \frac{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}}{\frac{J^2}{M^2}-2 M \text{x2}+\text{x2}^2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & \text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2} & 0 \\  -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & \text{Sin}[\text{x3}]^2 \left(\frac{J^2}{M^2}+\text{x2}^2+\frac{2 J^2 \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{M \left(\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}\right)}\right)  \end{array}  \right)

y en un momento obtenemos:

\Gamma^{1}_{\alpha \beta}:

Gamma1

\Gamma^2_{\alpha \beta}:

Gamma2

\Gamma^3_{\alpha \beta}:

Gamma3

\Gamma^4_{\alpha \beta}:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

\frac{d^2}{dt^2}x^i + \Gamma^i_{jk} \frac{d}{dt}x^j \frac{d}{dt}x^k = 0.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases} \ddot{t} + \ldots = 0 \\ \ddot{r} + \ldots = 0 \\ \ddot{\theta} + \ldots = 0 \\ \ddot{\varphi} + \ldots = 0 \end{cases}

donde, por ejemplo, para \theta tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

\ddot{\theta} -

- \frac{J^2 M^5 r \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t}^2 + \frac{J^2 M^2 \text{Sin}[\theta]}{2 \left(J^2+M^2 r (-2 M+r)\right) \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)} \dot{r}^2 - \frac{J^2 \text{Sin}[\theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 \text{Cos}[\theta]} \dot{\theta}^2 -

-\frac{\left(J^2+M^2 r^2\right) \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^2 \text{Sin}[\theta]+4 J^2 M^3 r \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right) \text{Sin}[\theta]^3+J^4 M^3 r \text{Sin}[\theta]^5}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{\varphi}^2 +

+ \frac{J M^4 r \left(4 M^2 r^2 \text{Cos}[\theta]+J^2 (3+\text{Cos}[2 \theta])\right) \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t} \dot{\varphi} + \frac{r}{r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta]}{M^2}} \dot{r} \dot{\theta} = 0

Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{rk} \{ \frac{\partial}{\partial x^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} - \frac{\partial}{\partial x^r}g_{ij} \}.

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

f: S^2(\frac{1}{a^2}) \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta,\varphi) \mapsto a(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, \sin \theta)

y la métrica inducida medainte el pullback era:

f^*h: a^2 d\theta^2 + a^2 \sin^2 \theta d\varphi^2

Tenemos que calcular:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta}, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi}

Calculamos, por ejemplo, \Gamma^{1}_{22} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}:

\Gamma_{\varphi \varphi}^\theta = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \theta}g_{\varphi \varphi} \} g^{\theta \theta} + \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} \} g^{\varphi \theta},

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

\Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial \theta} g_{\varphi \varphi}) g^{\theta \theta} = -\frac{1}{2 a^2} a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta = - \sin \theta \cos \theta.

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]
 

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre g de dimensión 2 \times 2 con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

g=\{\{a{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

\text{Simbolos}[]

y obtenemos:

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\Gamma^{1}_{22} = \text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Cos}[\text{u1}] \text{Sin}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0

De la misma manera, para la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}) tenemos:

g=\{\{a{}^{\wedge}2*\text{Cot}[\text{u1}]{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

que nos da, al ejecutar \text{Simbolos}[],

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }-\text{Csc}[\text{u1}] \text{Sec}[\text{u1}]

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Sin}[\text{u1}]^2 \text{Tan}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,1\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0.

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para \mathbb{R}^2 obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son 0, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo T^a_b, queda:

\nabla_c T^a_b = \partial_c T^a_b + \Gamma^a_{dc} T^d_b - \Gamma^d_bc T^a_d,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

El teorema de Whitney nos dice que toda variedad diferenciable admite una métrica. La idea es sencilla: como toda variedad M admite una inmersión f:M \longrightarrow \mathbb{R}^m en un espacio euclideo de dimensión apropiada m entonces f^*h es una métrica de Riemann en M donde h es la métrica ordinaria de \mathbb{R}^m.

Dada una variedad de Riemann (M,g), siempre podemos construir una conexión \nabla compatible con la métrica, \nabla_g = 0, y libre de torsión, T(\nabla) = 0 a la que llamaremos conexión de Levi-Civita.

¿Cómo es su expresión en coordenadas? La condición \nabla_g = 0 hace que

X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y,Z) + g(Y,\nabla_X Z).

Si la escribimos tres veces permutando los campos X, Y, Z obtenemos:

X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y,Z) + g(Y,\nabla_X Z),

Z(g(X,Y)) = g(\nabla_Z X,Y) + g(X,\nabla_Z Y),

Y(g(Z,X)) = g(\nabla_Y Z,X) + g(Z,\nabla_Y X).

Sumando las dos primeras, restando la última y aplicando que T(\nabla)=0, es decir, que \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y] nos queda:

X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y)) - Y(g(Z,X)) =

= g([X,Y],Z) + g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) + 2g(\nabla_Z X, Y),

por lo que, despejando:

g(\nabla_Z X, Y) =

= \frac{1}{2} \{ X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y) + Y(g(Z,X)) -

- g([X,Y],Z) - g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) )\}.

Si (U,(x^i))  es un abierto de coordenadas de (M,g), veamos la expresión de los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita \nabla. En la expresión anterior hacemos Z = \frac{\partial}{\partial x^i}, X = \frac{\partial}{\partial x^j} y Y = \frac{\partial}{\partial x^r} y como el claudator de Lie para estos campos es cero, nos queda:

g(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j}, \frac{\partial}{\partial x^r} ) = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial dx^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} + \frac{\partial}{\partial x^j}g_{ij} \} =

es decir:

\Gamma_{ij}^l g_{lr} = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial x^j} g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i} g_{jr} + \frac{\partial}{\partial x^r} g_{ij} \}

y utilizando la matriz inversa g^{ij} de g_{ij} obtenemos:

\Gamma_{ij}^l g_{lr}g^{rk} = \Gamma_{ij}^l \delta_l^k = \Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial dx^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} + \frac{\partial}{\partial x^r}g_{ij} \} g^{rk},

Por lo que los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita se obtienen a partir de la métrica y de sus primeras derivadas.

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad M como curvas \gamma que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas.

Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales (D_{\vec{v}} Y , que podemos ver como (\nabla Y) \cdot \vec{v}, que nos permite definir D_X Y) no tiene porque estar en el espacio tangente de una variedad arbitraria, necesitamos aprender a derivar campos vectoriales en éstas.

Si la variedad está contenida en un espacio ambiente, siempre podemos quedarnos con la parte tangente de las derivadas direccionales, es decir, siempre podemos proyectar (D_X^T Y), pero ¿qué pasa cuando no tenemos la variedad embebida en un espacio ambiente? o, equivalentemente, ¿qué pasa cuando queremos trabajar de manera intrínseca? Necesitamos introducir el concepto de conexión.

Una conexión nos permitirá derivar campos vectoriales sobre variedades abstractas y definir así la aceleración de una curva como la variación del campo velocidad a lo largo de ésta. Se puede definir una conexión sobre una variedad M como una aplicación:

\nabla: \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \longrightarrow \mathcal{X}(M)

cumpliendo:

  1. \nabla es \mathcal{C}^\infty (M)-lineal en la primera variable.
  2. \nabla es \mathbb{R}-lineal en la segunda variable.
  3. \nabla_X (fY) = X(f) Y + f \nabla_X Y para toda función f.

Llamamos al nuevo campo vectorial \nabla_X Y derivada covariante de Y con respecto a X y \nabla_{X_p} Y es la derivada direccional de Y en la dirección X_p sobre la variedad abstracta.

Esta definición es poco operativa. Si expresamos los campos en una carta (U,\phi), entonces \nabla_X Y queda totalmente determinado por los símbolos de conexión \Gamma_{ij}^k determinados mediante:

\nabla_{\frac{\partial}{\partial \phi^i}} \frac{\partial}{\partial \phi^j} = \sum_k \Gamma_{ij}^k \frac{\partial}{\partial \phi^k}

en las coordenadas de la carta.

Una consideración importante es que las conexiones existen sin la necesidad de las métricas, es decir, que podemos hacer referencia a transporte paralelo y a geodésicas en una variedad sin necesidad de tener definida una métrica sobre ésta. Sin embargo, un resultado sorprendente, fundamental, nos garantiza la construcción de una conexión única coherente con la métrica: la conexión de Levi-Civita.

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura (-,+,+,+) y G=c=1):

G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}

donde G_{\mu\nu} es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, 8 \pi es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y T_{\mu\nu} es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como G_{\mu \nu}, T_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R}), tenemos 16 ecuaciones que se reducen a 10 por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son 10 PDEs acopladas en 4D.

El tensor de Einstein se define como:

G_{\mu \nu} := R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}R

donde R_{\mu \nu}:=R^\lambda_{\mu \lambda \nu} es el tensor de Ricci (R_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R})) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y R:=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión \nabla:

R(u,v)w = \nabla_u \nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\sigma \nu} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\sigma \mu} + \Gamma^\alpha_{\sigma \nu} \Gamma^\rho_{\alpha \mu} - \Gamma^\alpha_{\sigma \mu} \Gamma^\rho_{\alpha \nu}

y que con 4 índices en n dimensiones tiene n^4 componentes, de las que solo 20 (si n=4 y 4^4=256), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que R=0 \Leftrightarrow variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

v_\alpha = g_{\alpha \beta} v^\beta

v^\alpha = g^{\alpha \beta} v_\beta

R_{\rho \sigma \mu \nu} = g_{\rho \alpha} R^{\alpha}_{\sigma \mu \nu}

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo (0,4) (los elementos de la base pasan de ser de la forma \frac{\partial}{\partial_{x^\alpha}} \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta de un tensor de tipo (1,3) a ser de la forma dx^\alpha \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

  1. Antisimetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = - R_{\alpha \beta \delta \gamma} = -R_{\beta \alpha \gamma \delta}.
  2. Simetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = R_{\gamma \delta \alpha \beta}.
  3. Primera identidad de Bianchi: R_{\alpha[\beta\gamma\delta]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta} + R_{\alpha\gamma\delta\beta} + R_{\alpha\delta\beta\gamma} = 0.
  4. Segunda identidad de Bianchi:R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\epsilon]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta;\epsilon} + R_{\alpha\beta\delta\epsilon;\gamma} + R_{\alpha\beta\epsilon\gamma;\delta} = 0.

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

T^{00} = densidad de energía.

T^{0i} = densidad de momento.

T^{ij} = flujo de momento i a través de la superficie j.

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

G^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0 \Rightarrow T^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde ; indica la derivada covariante.

junio 2017
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