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Una conexión afín (o derivación covariante) permite

La derivada covariante del campo vectorial queda:

donde el primer sumando corresponde a la derivada parcial del campo respecto de la base y la segunda a la variación de la propia base curvilínea respecto de las lineas coordenadas.

Aunque la formula anterior corresponde a la derivada covariante de un campo vectorial contravariante, es fácilmente extensible a cualquier tensor (p,q). La derivada covariante de un tensor de este tipo queda:

\mathcal{D}_{\hat{k}} T^{\hat{i}_1 \cdots \hat{i}_p}_{\hat{j}_1 \cdots \hat{j}_q} = e_{\hat{k}}^l \partial_{\hat{k}} T^{\hat{i}_1 \cdots \hat{i}_p}_{\hat{j}_1 \cdots \hat{j}_q} + \Sigma_{i=1}^p \Gamma_{}^{} T_{}^{\hat{j}_1 \cdots \hat{j}_q} - \Sigma_{i=1}^q \Gamma_{}^{} T_{\hat{i}_1 \cdots \hat{i}_p}^{}.

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