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Tensor de energía impulso

Energía del campo electromagnético

En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.

A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde  describimos el fluido desde un punto fijo del espacio, el Smoothed Particle Hydrodynamics es totalmente Lagrangiano, por lo que describimos el fluido desde un sistema de coordenadas fijado en una particula del fluido en movimiento.

La derivada Lagrangiana o sustancial respecto del tiempo, \frac{d}{dt}, se relaciona con la derivada Euleriana respecto al tiempo, \frac{\partial}{\partial t} de la siguiente manera:

\frac{d}{dt} = \frac{dx^i}{dt} \frac{\partial}{\partial x^i} + \frac{\partial}{\partial t} = \vec{v} \cdot \nabla + \frac{\partial}{\partial t}

Aplicando esta relación a las ecuaciones en forma Euleriana, las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana quedan:

  1. Ecuación de continuidad: \frac{d}{dt} \rho = - \rho \nabla \cdot \vec{v}
  2. Ecuacion del momento: \frac{d}{dt} \vec{v} = -\frac{\nabla P}{\rho} + \vec{f}
  3. Ecuación de la energía: \frac{d}{dt}u = \frac{P}{\rho^2} \frac{d}{dt} \rho = - \frac{P}{\rho} \nabla \cdot \vec{v}
  4. Ecuación de estado, que describe la termodinámica del fluido estelar: P = (\gamma -1) \cdot \rho \cdot \epsilon (ecuación del gas ideal)

Las ecuaciones de Euler gobiernan la dinámica de los fluidos compresibles, como gases o líquidos a alta presión, cuando consideramos despreciables las fuerzas de cuerpo, las tensiones viscosas y los flujos de calor. Forman un sistema de PDE no lineal hiperbólico.

En el caso clásico, deducidas por Leonhard Euler, las leyes de conservación son las siguientes:

  1. Conservación de la masa: \rho_t + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0
  2. Conservación del momento: (\rho \vec{v})_t + \nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v} + pI) = 0
  3. Conservación de la energia: E_t + \nabla \cdot [(E + p)] \vec{v} = 0

donde \rho(x,y,z,t) es la densidad de masa, \vec{v}= (v^1,v^2,v^3) es el vector velocidad con v^i(x,y,z,t), p(x,y,z,t) es la presión,

De hecho, podemos escribir el sistema de forma compacta:

U_t + \nabla \cdot H = 0

con el vector columna U = \left[ \begin{array}{c} \rho \\ \rho v^1 \\ \rho v^2 \\ \rho v^3 \\ E \end{array} \right] y el tensor H = \begin{bmatrix} \rho v^1 & \rho (v^1)^2 + p & \rho v^2 v^1 & \rho v^3 v^1 & v^1 (E + p) \\ \rho v^2 & \rho v^1 v^2 & \rho (v^2)^2 + p & \rho v^3 v^2 & v^2 (E + p) \\ \rho v^3 & \rho v^1 v^3 & \rho v^2 v^3 & \rho (v^3)^2 + p & v^3 (E + p) \end{bmatrix}

La derivación de estas leyes de conservación esta basada en la relación entre las integrales en volumenes de control y sus fronteras y utilizando el teorema de Gauss. En la forma integral de las ecuaciones no necesitamos la hipótesis de diferenciabilidad. Para la conservación de la masa asumimos que en un volumen V la masa ni se crea ni se destruye, por lo que la variación de fluido en su interior esta relacionada con la cantidad del mismo que atraviesa su frontera \partial V

agosto 2017
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