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Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular.

El tensor de curvatura de Riemann:

R^{a}_{bcd} = \partial_c \Gamma^{a}_{bd} - \partial_d \Gamma^{a}_{bc} + \Gamma^{a}_{ec} \Gamma^{e}_{bd} - \Gamma^{a}_{ed} \Gamma^{e}_{bc},

el tensor de Ricci:

R_{ab} = R^{c}_{acb} = \partial_c \Gamma^{c}_{bd} - \partial_d \Gamma^{c}_{bc} + \Gamma^{c}_{ec} \Gamma^{e}_{bd} - \Gamma^{c}_{ed} \Gamma^{e}_{bc},

la curvatura escalar:

R = R^{a}_{a}

y el tensor de Weyl:

C_{abcd} = R_{abcd} -

- \frac{1}{2}(g_{ac}R_{bd}-g_{ad}R_{bc}-g_{bc}R_{ad}+g_{bd}R_{ac}) + \frac{1}{6}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) R

Empezamos con la esfera S^2(\frac{1}{r^2}). Recordamos los símbolos de Christoffel que encontramos:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = -\sin \theta \cos \theta,

\Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \cot \theta, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = 0

(Escribir ahora las ecuaciones de las geodésicas es inmediato: una equacion por variable contravariante donde aparece la segunda derivada de esta y un termino para cada símbolo no nulo de la fila con la primera derivada de las variables covariantes:

\begin{cases} \ddot{\theta} - \dot{\varphi}^2 \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \ddot{\varphi} + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cot \theta = 0 \end{cases}

que coincide con lo que calculamos en este post de otra manera sin necesidad de los símbolos de Christoffel).

Tenemos cuatro índices y cada uno puede tomar dos valores, pues estamos trabajando con superificies, variedades de dos dimensiones, por lo que tenemos un tensor de con 16 componentes (en el caso de estar trabajando con una variedad de cuatro dimensiones como es espacio-tiempo, el tensor de Riemann tiene 256 componentes..). Aunque existe una serie de propiedades que minimizan el número de componentes de n^4 a \frac{1}{12}n^2(n^2-1) (simetrías, antisimetrías e identidades de Bianchi) vamos a calcularlos todos aquí para practicar.

R^{\theta}_{ \theta \theta \theta} = \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \theta \theta \varphi} = \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \theta \varphi \theta} = \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 0

R^{\theta}_{ \theta \varphi \varphi} = \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 0

R^{\theta}_{ \varphi \theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \varphi \theta \varphi} =

= \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \sin^2 \theta

R^{\theta}_{ \varphi \varphi \theta} =

= \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = -\sin^2 \theta

R^{\theta}_{\varphi \varphi \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \theta \theta \theta} = 0

R^{\varphi}_{ \theta \theta \varphi} = \partial_\theta \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} + \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = -1

R^{\varphi}_{ \theta \varphi \theta} = \partial_\varphi \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 1

R^{\varphi}_{ \theta \varphi \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \theta \theta} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \theta \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \varphi \theta} = 0

R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = 0

Continuamos con el tensor de Ricci. Podemos calcularlo a partir de la formula o a partir del tensor de Riemann, que ya lo tenemos. Lo haremos de esta última manera:

R_{\theta \theta} = R^{a}_{\theta a \theta} = R^{\theta}_{\theta \theta \theta} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \theta} = 1

R_{\theta \varphi} = R^{a}_{\theta a \varphi} = R^{\theta}_{\theta \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \varphi} = 0

R_{\varphi \theta} = R^{a}_{\varphi a \theta} = R^{\theta}_{\varphi \theta \theta} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \theta} = 0

R_{\varphi \varphi} = R^{a}_{\varphi a \varphi} = R^{\theta}_{\varphi \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = \sin^2 \theta.

Finalmente, calculamos la curvatura escalar:

g^{cb}R_{ab} = R^c_a,

R^a_a = g^{\theta \theta}R_{\theta \theta} + g^{\theta \varphi}R_{\theta \varphi} + g^{\varphi \theta}R_{\varphi \theta} + g^{\varphi \varphi}R_{\varphi \varphi} = \frac{1}{r^2}1+\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \sin^2 = \frac{2}{r^2},

que es, tal y como esperabamos, la mitad de la curvatura de Gauss (R = 2K).

Seguimos ahora con la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{r^2}). Los símbolos de Christoffel eran:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta} = -\csc \theta \sec \theta, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = -\sin^2 \theta \tan \theta,

\Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \cot \theta, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = 0

(Aprovechamos otra vez, conocidos los símbolos de Christoffel, para escribir las ecuaciones de las geodésicas:

\begin{cases} \ddot{\theta} - \dot{\theta}^2 \csc \theta \sec \theta - \dot{\varphi}^2 \sin^2 \theta \tan \theta = 0 \\ \ddot{\varphi} + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cot \theta = 0 \end{cases}

que debería coincidir con la de aquí).

Como es bastante laborioso, aquí otro programita, esta vez para el tensor de Riemann:

tensorRiemann

y los resultados:

tensorRiemannPseudoesfera

por tanto, Ricci es:

R_{\theta \theta} = R^{a}_{\theta a \theta} = R^{\theta}_{\theta \theta \theta} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \theta} = - \cot^2 \theta

R_{\theta \varphi} = R^{a}_{\theta a \varphi} = R^{\theta}_{\theta \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \varphi} = 0

R_{\varphi \theta} = R^{a}_{\varphi a \theta} = R^{\theta}_{\varphi \theta \theta} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \theta} = 0

R_{\varphi \varphi} = R^{a}_{\varphi a \varphi} = R^{\theta}_{\varphi \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = -\sin^2 \theta.

y la curvatura escalar:

R=R^a_a = g^{\theta \theta}R_{\theta \theta} + g^{\theta \varphi}R_{\theta \varphi} + g^{\varphi \theta}R_{\varphi \theta} + g^{\varphi \varphi}R_{\varphi \varphi} =

= \frac{1}{r^2 \cot^2 \theta}(-\cot^2 \theta)+\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} (-\sin^2) = -\frac{2}{r^2},

que vuelve a ser R = 2K. Aquí es resultado con dos nuevas funciones programadas para el tensor de Ricci y la curvatura escalar:

RiemannRicciRH2

Por último, para \mathbb{R}^2 todo es 0.

Finalmente una gráfica de todas las curvaturas escalares que hemos encontrado:

curvaturaEscalar2D

Los colores son los mismos que los de las superficie correspondiente de este post y añadiendo en rojo la curvatura escalar del toro. Recordar que, en superficies, la curvatura escalar es el doble de la curvatura Gauss o curvatura intrínseca y esta, a su vez, es el producto de las dos curvaturas principales.

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Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{rk} \{ \frac{\partial}{\partial x^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} - \frac{\partial}{\partial x^r}g_{ij} \}.

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

f: S^2(\frac{1}{a^2}) \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta,\varphi) \mapsto a(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, \sin \theta)

y la métrica inducida medainte el pullback era:

f^*h: a^2 d\theta^2 + a^2 \sin^2 \theta d\varphi^2

Tenemos que calcular:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta}, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi}

Calculamos, por ejemplo, \Gamma^{1}_{22} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}:

\Gamma_{\varphi \varphi}^\theta = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \theta}g_{\varphi \varphi} \} g^{\theta \theta} + \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} \} g^{\varphi \theta},

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

\Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial \theta} g_{\varphi \varphi}) g^{\theta \theta} = -\frac{1}{2 a^2} a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta = - \sin \theta \cos \theta.

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]
 

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre g de dimensión 2 \times 2 con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

g=\{\{a{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

\text{Simbolos}[]

y obtenemos:

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\Gamma^{1}_{22} = \text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Cos}[\text{u1}] \text{Sin}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0

De la misma manera, para la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}) tenemos:

g=\{\{a{}^{\wedge}2*\text{Cot}[\text{u1}]{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

que nos da, al ejecutar \text{Simbolos}[],

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }-\text{Csc}[\text{u1}] \text{Sec}[\text{u1}]

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Sin}[\text{u1}]^2 \text{Tan}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,1\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0.

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para \mathbb{R}^2 obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son 0, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo T^a_b, queda:

\nabla_c T^a_b = \partial_c T^a_b + \Gamma^a_{dc} T^d_b - \Gamma^d_bc T^a_d,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann (S^2(1/a^2),g) con

g = \left(  \begin{array}{cc}  a^2 & 0 \\  0 & a^2 \sin^2 \theta  \end{array}  \right)

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva \gamma:I \longrightarrow M diferenciable, \forall a,b \in I, a < b, se define la longitud del segmento de curva \alpha, desde a hasta b, como:

L [\gamma]_a^b=\int_a^b || \gamma'||dt con ||\gamma'|| = \sqrt{g(\gamma',\gamma')},

es decir:

L [\gamma]_a^b=\int_a^b \sqrt{g_{ij} \gamma'^i \gamma'^j} dt

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, \varphi=0 ,parametrizado sobre la esfera como \gamma(\theta,0)=a(\sin \theta, 0, \cos \theta) con \theta \in ]0,\pi[. Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es \gamma(\theta)=(\theta,0) con \theta \in ]0,\pi[. Calculamos \dot{\gamma}(t) = (1,0), de manera que \dot{\gamma}^1(t) = 1\dot{\gamma}^2(t)=0. Entonces:

L[\gamma]_0^{\pi} = \int_0^{\pi} \sqrt{\sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 g_{ij} \dot{\gamma}^i(t) \dot{\gamma}^j(t)} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{ a^2 } dt = a \int_0^{\pi} dt = a \pi

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}), pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en 0 y cambio discontínuo de la normal a la superfície en \theta = \frac{\pi}{2}) de su meridiano 0 sabiendo su parametrización en coordenadas (\theta, \phi) sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

\gamma(\theta,\varphi) = (\theta, 0) con \theta \in ]b,c[

g = \left(  \begin{array}{cc}  a^2 \cot^2 \theta & 0 \\  0 & a^2 \sin^2 \theta  \end{array}  \right)

de manera que, procediendo como antes:

L[\gamma]_b^c = a \int_b^{c} \sqrt{cot^2 \theta} d\theta = a \sqrt{cot^2 \theta} \tan \theta \ln[\sin \theta]|_{b}^{c}.

Por ejemplo, para a=1, b = \frac{\pi}{4} y c = \frac{\pi}{2} nos queda L[\gamma]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\ln{2}}{2} y para L[\gamma]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} = -\ln{\sin \frac{\pi}{8}}.

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita \nabla, que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales X, Y, como T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y], lo que tenemos es que \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]) que preserva la métrica (\nabla_g = 0) para calcular las geodésicas?

Pues no.  En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

  • Llamamos geodésica a toda curva x(t) tal que \nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)} = 0.
  • En coordenadas, \nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i \Gamma_{ij}^k) e_k.
  • En una carta local (U,x^i), le ecuación \nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)} se escribe \frac{d^2 x^i}{dt^2}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0 donde \Gamma_{jk}^i son los símbolos de Christoffel relativos a la base \partial_{x^i}.
  • “muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler”, como es mi caso :-), “tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante \nabla asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad”.
  • Tendremos la métrica g que depende de x^1,\ldots,x^n. Escribimos, formalmente, la función de 2n variables x^i, \dot{x}^i que volvemos a denotar g abusando de la notación. Entonces, con la convención \frac{d}{dt}x^i = \dot{x}^i y \frac{d}{dt}\dot{x}^i = \ddot{x}^i, las ecuaciones de las geodésicas son: \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{x}^i} g = \frac{\partial}{\partial x ^i} g .

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera S^2(\frac{1}{a^2}). Como:

g = a^2 d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

entonces:

g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2,

de manera que:

\partial_\theta g = a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}^2

\partial_\varphi g = 0

\partial_{\dot{\theta}} g = a^2 \, 2 \dot{\theta} y entoces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = a^2 2 \ddot{\theta}

\partial_{\dot{\varphi}} g = a^2 \sin^2 \theta 2 \dot{\varphi} y entonces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \sin \theta (\cos \theta \dot{\theta} \dot{\varphi} + \sin \theta \ddot{\varphi}).

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases}\ddot{\theta} - \dot{\varphi}^2 \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \sin \theta (2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta + \ddot{\varphi} \sin \theta) = 0 \end{cases}

En el caso de la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}) tenemos:

g = a^2 \cot^2 \theta d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

entonces:

g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \cot^2 \theta \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2,

de manera que:

\partial_\theta g = 2 a^2 (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta )

\partial_\varphi g = 0

\partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \dot{\theta} \cot^2 \theta y entoces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta )

\partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \dot{\varphi} \sin^2 \theta y entonces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g =2 a^2 \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta ).

Así pues, las geodésicas cumplen:

\begin{cases} \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta) - (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta ) = 0 \\ \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta ) = 0 \end{cases}

Para terminar, procediento de la misma manera para \mathbb{R}^2 obtenemos que las geodésicas satisfacen:

\begin{cases} \ddot{\theta} = 0 \\ \ddot{\varphi} = 0 \end{cases}

Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann M conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante k es isométrica a:

  • el Espacio Hiperbólico: \mathbb{H}^n(k) si k<0,
  • el Espacio Euclídeo: \mathbb{R}^n si k=0,
  • la Hipersuperfície Esférica: S^n(k) si k>0.

En particular, cuando la dimensión sea n=2, tenemos las superfícies \mathbb{H}^2(k), trabajaremos con la pseudoesfera, el plano \mathbb{R}^2 y la esfera S^2(k).

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental I \equiv ds^2, la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente \mathbb{R}^3 en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización f es un embedding y si h es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica f^*h en la variedad):

S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),

I(u,v) = E(u,v) du \otimes du + F(u,v) du \otimes dv +

+ F(u,v) dv \otimes du + G(u,v) dv \otimes dv

o, lo que es lo mismo,

ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2

donde

g_{00}=\frac{\partial}{\partial u}S(u,v) \cdot \frac{\partial}{\partial u}S(u,v) = \partial_u S \cdot \partial_u S

g_{01}=g_{10} = \partial_u S \cdot \partial_v S

g_{11} = \partial_v S \cdot \partial_v S.

Si en lugar de u y v trabajamos con u_1 y u_2 entonces podemos escribir

ds^2 = \sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j,

donde al final aplicamos el C \sum E con i=1,2 y j=1,2.

También son sencillas de calcular el vector normal \boldsymbol{n}, la segunda forma fundamental II y la curvatura de Gauss o intrínseca k:

\boldsymbol{n} = \frac{\partial_u S \times \partial_v S}{|| \partial_u S \times \partial_v S||},

II(u,v) = L(u,v) du \otimes du + M(u,v) du \otimes dv +

+ M(u,v) dv \otimes du + N(u,v) dv \otimes dv

o, lo que es lo mismo,

\amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2 o \amalg = b_{ij}du^i du^j

donde

b_{00}=\partial_{uu} \cdot \boldsymbol{n}

b_{01}=b_{10} = \partial_{uv} S \cdot \boldsymbol{n}

b_{11} = \partial_{vv} S \cdot \boldsymbol{n},

k = \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = \frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano \mathbb{R}^2

Utilizamos la parametrización S(u,v)=(u,v,0) con u \in \mathbb{R} y v \in \mathbb{R} (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas  con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

plaR2

g_{00} = \partial_u S \cdot \partial_u S = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1

g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=1

\boldsymbol{n} = (0,0,1)

\partial_{uu} S = \partial_{uv} S = \partial_{vv} S = 0 y, por tanto, b_{ij}=0

k = \frac{0.0 - 0^2}{1.1 - 0^2} = 0.

Esfera S^2(k)

Parametrizamos según indica la figura:

esfera

g_{00} = a^2, g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=a^2 \sin^2 \theta

\boldsymbol{n} = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta)

b_{00} = -a, b_{01} = b_{10} = 0, b_{11}=-a \sin^2 \theta

y, por tanto, k = \frac{-a.-a \sin^2 \theta - 0^2}{a^2.a^2 \sin^2 \theta - 0^2} = \frac{1}{a^2}.

Pseudoesfera \mathbb{H}^2(k)

pseudoesfera

g_{00} = a^2 \cot^2 \theta, g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=a^2 \sin^2 \theta

\boldsymbol{n} = (-|\cos \theta| \cos \varphi, - |\cos \theta| \sin \varphi, sgn(\cos \theta) \sin \theta)

k = -\frac{1}{a^2}.

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de \mathbb{R}^2 para que nos de g_{11} = \theta^2?

plano

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

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