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Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{rk} \{ \frac{\partial}{\partial x^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} - \frac{\partial}{\partial x^r}g_{ij} \}.

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

f: S^2(\frac{1}{a^2}) \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta,\varphi) \mapsto a(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, \sin \theta)

y la métrica inducida medainte el pullback era:

f^*h: a^2 d\theta^2 + a^2 \sin^2 \theta d\varphi^2

Tenemos que calcular:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta}, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi}

Calculamos, por ejemplo, \Gamma^{1}_{22} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}:

\Gamma_{\varphi \varphi}^\theta = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \theta}g_{\varphi \varphi} \} g^{\theta \theta} + \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} \} g^{\varphi \theta},

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

\Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial \theta} g_{\varphi \varphi}) g^{\theta \theta} = -\frac{1}{2 a^2} a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta = - \sin \theta \cos \theta.

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]
 

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre g de dimensión 2 \times 2 con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

g=\{\{a{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

\text{Simbolos}[]

y obtenemos:

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\Gamma^{1}_{22} = \text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Cos}[\text{u1}] \text{Sin}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0

De la misma manera, para la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}) tenemos:

g=\{\{a{}^{\wedge}2*\text{Cot}[\text{u1}]{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

que nos da, al ejecutar \text{Simbolos}[],

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }-\text{Csc}[\text{u1}] \text{Sec}[\text{u1}]

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Sin}[\text{u1}]^2 \text{Tan}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,1\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0.

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para \mathbb{R}^2 obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son 0, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo T^a_b, queda:

\nabla_c T^a_b = \partial_c T^a_b + \Gamma^a_{dc} T^d_b - \Gamma^d_bc T^a_d,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann (S^2(1/a^2),g) con

g = \left(  \begin{array}{cc}  a^2 & 0 \\  0 & a^2 \sin^2 \theta  \end{array}  \right)

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva \gamma:I \longrightarrow M diferenciable, \forall a,b \in I, a < b, se define la longitud del segmento de curva \alpha, desde a hasta b, como:

L [\gamma]_a^b=\int_a^b || \gamma'||dt con ||\gamma'|| = \sqrt{g(\gamma',\gamma')},

es decir:

L [\gamma]_a^b=\int_a^b \sqrt{g_{ij} \gamma'^i \gamma'^j} dt

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, \varphi=0 ,parametrizado sobre la esfera como \gamma(\theta,0)=a(\sin \theta, 0, \cos \theta) con \theta \in ]0,\pi[. Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es \gamma(\theta)=(\theta,0) con \theta \in ]0,\pi[. Calculamos \dot{\gamma}(t) = (1,0), de manera que \dot{\gamma}^1(t) = 1\dot{\gamma}^2(t)=0. Entonces:

L[\gamma]_0^{\pi} = \int_0^{\pi} \sqrt{\sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 g_{ij} \dot{\gamma}^i(t) \dot{\gamma}^j(t)} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{ a^2 } dt = a \int_0^{\pi} dt = a \pi

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}), pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en 0 y cambio discontínuo de la normal a la superfície en \theta = \frac{\pi}{2}) de su meridiano 0 sabiendo su parametrización en coordenadas (\theta, \phi) sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

\gamma(\theta,\varphi) = (\theta, 0) con \theta \in ]b,c[

g = \left(  \begin{array}{cc}  a^2 \cot^2 \theta & 0 \\  0 & a^2 \sin^2 \theta  \end{array}  \right)

de manera que, procediendo como antes:

L[\gamma]_b^c = a \int_b^{c} \sqrt{cot^2 \theta} d\theta = a \sqrt{cot^2 \theta} \tan \theta \ln[\sin \theta]|_{b}^{c}.

Por ejemplo, para a=1, b = \frac{\pi}{4} y c = \frac{\pi}{2} nos queda L[\gamma]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\ln{2}}{2} y para L[\gamma]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} = -\ln{\sin \frac{\pi}{8}}.

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita \nabla, que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales X, Y, como T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y], lo que tenemos es que \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]) que preserva la métrica (\nabla_g = 0) para calcular las geodésicas?

Pues no.  En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

  • Llamamos geodésica a toda curva x(t) tal que \nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)} = 0.
  • En coordenadas, \nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i \Gamma_{ij}^k) e_k.
  • En una carta local (U,x^i), le ecuación \nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)} se escribe \frac{d^2 x^i}{dt^2}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0 donde \Gamma_{jk}^i son los símbolos de Christoffel relativos a la base \partial_{x^i}.
  • “muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler”, como es mi caso :-), “tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante \nabla asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad”.
  • Tendremos la métrica g que depende de x^1,\ldots,x^n. Escribimos, formalmente, la función de 2n variables x^i, \dot{x}^i que volvemos a denotar g abusando de la notación. Entonces, con la convención \frac{d}{dt}x^i = \dot{x}^i y \frac{d}{dt}\dot{x}^i = \ddot{x}^i, las ecuaciones de las geodésicas son: \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{x}^i} g = \frac{\partial}{\partial x ^i} g .

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera S^2(\frac{1}{a^2}). Como:

g = a^2 d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

entonces:

g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2,

de manera que:

\partial_\theta g = a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}^2

\partial_\varphi g = 0

\partial_{\dot{\theta}} g = a^2 \, 2 \dot{\theta} y entoces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = a^2 2 \ddot{\theta}

\partial_{\dot{\varphi}} g = a^2 \sin^2 \theta 2 \dot{\varphi} y entonces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \sin \theta (\cos \theta \dot{\theta} \dot{\varphi} + \sin \theta \ddot{\varphi}).

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases}\ddot{\theta} - \dot{\varphi}^2 \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \sin \theta (2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta + \ddot{\varphi} \sin \theta) = 0 \end{cases}

En el caso de la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}) tenemos:

g = a^2 \cot^2 \theta d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

entonces:

g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \cot^2 \theta \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2,

de manera que:

\partial_\theta g = 2 a^2 (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta )

\partial_\varphi g = 0

\partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \dot{\theta} \cot^2 \theta y entoces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta )

\partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \dot{\varphi} \sin^2 \theta y entonces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g =2 a^2 \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta ).

Así pues, las geodésicas cumplen:

\begin{cases} \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta) - (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta ) = 0 \\ \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta ) = 0 \end{cases}

Para terminar, procediento de la misma manera para \mathbb{R}^2 obtenemos que las geodésicas satisfacen:

\begin{cases} \ddot{\theta} = 0 \\ \ddot{\varphi} = 0 \end{cases}

Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann M conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante k es isométrica a:

  • el Espacio Hiperbólico: \mathbb{H}^n(k) si k<0,
  • el Espacio Euclídeo: \mathbb{R}^n si k=0,
  • la Hipersuperfície Esférica: S^n(k) si k>0.

En particular, cuando la dimensión sea n=2, tenemos las superfícies \mathbb{H}^2(k), trabajaremos con la pseudoesfera, el plano \mathbb{R}^2 y la esfera S^2(k).

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental I \equiv ds^2, la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente \mathbb{R}^3 en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización f es un embedding y si h es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica f^*h en la variedad):

S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),

I(u,v) = E(u,v) du \otimes du + F(u,v) du \otimes dv +

+ F(u,v) dv \otimes du + G(u,v) dv \otimes dv

o, lo que es lo mismo,

ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2

donde

g_{00}=\frac{\partial}{\partial u}S(u,v) \cdot \frac{\partial}{\partial u}S(u,v) = \partial_u S \cdot \partial_u S

g_{01}=g_{10} = \partial_u S \cdot \partial_v S

g_{11} = \partial_v S \cdot \partial_v S.

Si en lugar de u y v trabajamos con u_1 y u_2 entonces podemos escribir

ds^2 = \sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j,

donde al final aplicamos el C \sum E con i=1,2 y j=1,2.

También son sencillas de calcular el vector normal \boldsymbol{n}, la segunda forma fundamental II y la curvatura de Gauss o intrínseca k:

\boldsymbol{n} = \frac{\partial_u S \times \partial_v S}{|| \partial_u S \times \partial_v S||},

II(u,v) = L(u,v) du \otimes du + M(u,v) du \otimes dv +

+ M(u,v) dv \otimes du + N(u,v) dv \otimes dv

o, lo que es lo mismo,

\amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2 o \amalg = b_{ij}du^i du^j

donde

b_{00}=\partial_{uu} \cdot \boldsymbol{n}

b_{01}=b_{10} = \partial_{uv} S \cdot \boldsymbol{n}

b_{11} = \partial_{vv} S \cdot \boldsymbol{n},

k = \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = \frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano \mathbb{R}^2

Utilizamos la parametrización S(u,v)=(u,v,0) con u \in \mathbb{R} y v \in \mathbb{R} (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas  con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

plaR2

g_{00} = \partial_u S \cdot \partial_u S = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1

g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=1

\boldsymbol{n} = (0,0,1)

\partial_{uu} S = \partial_{uv} S = \partial_{vv} S = 0 y, por tanto, b_{ij}=0

k = \frac{0.0 - 0^2}{1.1 - 0^2} = 0.

Esfera S^2(k)

Parametrizamos según indica la figura:

esfera

g_{00} = a^2, g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=a^2 \sin^2 \theta

\boldsymbol{n} = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta)

b_{00} = -a, b_{01} = b_{10} = 0, b_{11}=-a \sin^2 \theta

y, por tanto, k = \frac{-a.-a \sin^2 \theta - 0^2}{a^2.a^2 \sin^2 \theta - 0^2} = \frac{1}{a^2}.

Pseudoesfera \mathbb{H}^2(k)

pseudoesfera

g_{00} = a^2 \cot^2 \theta, g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=a^2 \sin^2 \theta

\boldsymbol{n} = (-|\cos \theta| \cos \varphi, - |\cos \theta| \sin \varphi, sgn(\cos \theta) \sin \theta)

k = -\frac{1}{a^2}.

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de \mathbb{R}^2 para que nos de g_{11} = \theta^2?

plano

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

junio 2017
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