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Vamos a expresar las ecuaciones covariantes de la aproximación CFC en las coordenadas \bar{r}, \theta, \varphi a las que llamaremos esféricas compactificadas, puesto que son coordenadas esféricas donde la coordenada radial r la hemos cambiado por la coordenada \bar{r} cuyo dominio [0,1] es compacto:

r=\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}}.

Como teniamos:

\phi_1(r,\theta,\varphi) = r (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (r,\theta,\varphi) \in [0,+\infty[ \times [0,\pi] \times [0,2\pi],

y ahora tenemos:

\phi_2(\bar{r},\theta,\varphi) = (\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}},\theta,\varphi),

entonces:

\phi_1 \circ \phi_2 =: \phi(\bar{r},\theta,\varphi) = \frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}} (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (\bar{r},\theta,\varphi) \in [0,1] \times [0,\pi] \times [0,2\pi].

Ahora, llamando a nuestra función \phi en Mathematica obtenemos los coeficientes de Laplaciano, la métrica y los inversos de los coeficientes de Lamé :

esfericasCompactificadas.

El operador Laplaciano queda:

\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}\bar{r}} + \frac{2}{\bar{r}}\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta \theta} + \cot \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta} + \csc \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\varphi \varphi},

la métrica queda:

\frac{a^4}{(a-\bar{r})^4} d\bar{r} \otimes d\bar{r} + \frac{a^2 \bar{r}^2}{(a-\bar{r})^2} d\theta \otimes d\theta + \frac{a^2 \bar{r}^2 \sin^2 \theta}{(a-\bar{r})^2} d\varphi \otimes d\varphi,

en la base coordenada \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\} para la variedad tangente.

En este punto, y utilizando los coeficientes de Lamé, podemos construir una tetrada ortonormal con la que trabajaremos:

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{r}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_\theta, \csc \theta \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\varphi}\}.

Los símbolos de Christofel, calculados con nuestra función Mathematica, son:

ChristoffelEC,

\Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\bar{r} \bar{r}} = \frac{2}{a-\bar{r}},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\theta \theta}=\frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\varphi \varphi} = \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a}\sin^2 \theta,

\Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\bar{r} \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\theta \bar{r}} = \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\varphi\varphi} = -\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\bar{r}\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \bar{r}}= \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\theta\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\varphi \theta} = \cot \theta,

Por lo que las derivadas covariantes de un tensor una vez contravariante quedan, gracias a otra función que tenemos programada:

CDEC,

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta}

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\varphi} = \partial_{\bar{r}} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\bar{r}} = \partial_{\theta} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a} T^{\theta},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\theta} = \partial_{\theta} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\varphi} = \partial_{\theta} T^{\varphi} + \cot \theta T^{\varphi} ,

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\bar{r}} = \partial_{\varphi} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)\sin^2 \theta}{a} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\theta} = \partial_{\varphi} T^{\theta} - \sin \theta \cos \theta T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\varphi} = \partial_{\varphi} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}} + \cot \theta T^{\theta},

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