You are currently browsing the tag archive for the ‘ecuación covariante’ tag.

Las ecuaciones de la aproximación CFC de las ecuaciones de Einstein en el formalismo 3+1 expresadas de forma covariante son:

\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j X^j),

\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} \psi^{-7},

\Delta (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{f_{il} f_{im} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} (\alpha \psi),

\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j \beta^j),

donde \hat{A}^{ij} \approx (LX)^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}.

En coordenadas cartesianas, (x,y,z), tenemos:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^x = 8 \pi S_x^* - \frac{1}{3} \partial_{xx} X^x,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^y = 8 \pi S_y^* - \frac{1}{3} \partial_{yy} X^y,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^z = 8 \pi S_z^* - \frac{1}{3} \partial_{zz} X^z,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^x = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^x (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^y = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^y (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^z = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^z (\mathcal{D}_j \beta^j),

con

\hat{A}^{xx} = \partial_x X^x + \partial_x X^x - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{xx},

\hat{A}^{xy} = \partial_x X^y + \partial_y X^x,

\hat{A}^{xz} = \partial_x X^z + \partial_z X^x,

\hat{A}^{yy} = \partial_y X^y + \partial_y X^y - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{yy},

\hat{A}^{yz} = \partial_y X^z + \partial_z X^y,

\hat{A}^{zz} = \partial_z X^z + \partial_z X^z - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{zz},

y

As:=(A^{xx})^2+(A^{xy})^2+(A^{xz})^2+(A^{yy})^2+(A^{yz})^2+(A^{zz})^2.

En coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), las ecuaciones quedan:

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^r =

= 8 \pi f^{r j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\theta =

= 8 \pi f^{\theta j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\varphi =

= 8 \pi f^{\varphi j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) (\alpha \psi) =

= 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^r =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{r j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\theta =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\varphi =

\mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j \beta^j),

con:

\hat{A}^{rr} = \mathcal{D}^r X^r + \mathcal{D}^r X^r - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{rr},

\hat{A}^{r\theta} = \mathcal{D}^r X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^r,

\hat{A}^{r\varphi} = \mathcal{D}^r X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^r,

\hat{A}^{\theta\theta} = \mathcal{D}^\theta X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^\theta - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\theta\theta},

\hat{A}^{\theta\varphi} = \mathcal{D}^\theta X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\theta,

\hat{A}^{\varphi\varphi} = \mathcal{D}^\varphi X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\varphi - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\varphi\varphi},

y

As:=(A^{rr})^2+(A^{r\theta})^2+(A^{r\varphi})^2+(A^{\theta\theta})^2+(A^{\theta\varphi})^2+(A^{\varphi\varphi})^2.

Anuncios

Aunque lo había oido muchas veces, creo que acabo de entender la idea práctica de lo que significa tener una ecuación escrita en formulación covariante: es una expresión que será válida en cualquier sistema de referencia.

Tradicionalmente hay dos maneras de enfrentarse a los tensores: la de los físicos, mediante índices, y la de los matemáticos, sin índices. Como en todo, cada una tiene sus ventajas y sus inconvenientes. En la primera tenemos definidos unos sistemas de referencia, ya que los necesitamos para hacer física (las medidas de los experimentos estarán hechas en referencia a algo) y tiene una ventaja obvia a la hora de realizar cálculos prácticos. En la segunda, estamos mas preocupados por demostrar cosas, y nos interesa encontrar que hay de verdad en todo aquello independientemente del sistema en el que esté expresado.

Supongamos la siguiente ecuación covariante que me aparece en la aproximación CFC:

\Delta \Theta_X = 6 \pi \mathcal{D}^i S_i^*.

Esta es, por ser covariante, válida siempre, la expresemos en la referencia que queramos. Por tanto, lo podemos hacer en la base coordenada cartesiana \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z\}:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz} ) \Theta_X = 6 \pi (\partial_x S_x^* + \partial_y S_y^* +\partial_z S_z^*),

o en la base coordenada esférica \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}:

(\partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_{r} + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_{\theta} + \frac{\csc^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi \varphi}) \Theta_X =

6 \pi (\mathcal{D}_r (S^*)^r + \mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta + \mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi),

donde:

\mathcal{D}_r (S^*)^r = \partial_r (S^*)^r,

\mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta = \frac{1}{r} \partial_\theta (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r y

\mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi = \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi (S^*)^\varphi + \frac{\cot \theta}{r} (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r.

octubre 2019
L M X J V S D
« Oct    
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031  
Anuncios