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Aquí está el artículo donde aparece el nuevo esquema en el que el sistema se desacopla de manera jerárquica:

(1) Conocidas las cantidades hidrodinámicas conservadas, resolver:

\Delta X^i + \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \mathcal{D}_j X^j = 8 \pi f^{ij} S_j^*

para encontrar

\hat{A}^{ij} \approx (LX)^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}.

(2) Resolver la ecuación:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^{-1} E^{*} - \psi^{-7} \frac{ f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} }{8}

para encontrar \psi, donde la unicidad local ahora esta garantizada. Podemos calcular S^* de manear consistente.

(3) Resolver la ecuación:

\Delta(\psi N) = 2 \pi N \psi^{-1} (E^* + 2 S^*) + N \psi^{-7} \frac{7 f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} }{8}

para N \psi, una ecuación lineal donde podemos aplicar el principio del máximo con lo que, con las codiciones de contorno apropiadas, se sigue la unicidad y existencia.

(4) Finalmente, resolver:

\Delta \beta^i + \frac{1}{3} \mathcal{D}^i ( \mathcal{D}_j \beta^j ) = D_j( 2 N \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )

para encontrar \beta^i.

Además, en este otro artículo, presentan una manera de reducir una ecuación elíptica vectorial, un complicado sistema acoplado de PDEs, a un conjunto de ecuaciones Poisson escalares desacopladas. Para el caso del shift, la \beta anterior, por ejemplo, en coordenadas esféricas, tendríamos:

(1) Resolver ecuación:

\Delta \mu = \mu_S

que corresponde a la parte toroidal, para la resolución de la parte angular se introducen un potencial poloidal \eta y  un potencial toroidal \mu de manera que \boldsymbol{\beta} = , y está desacoplada del resto para obtener \mu.

(2) Resolver la también desacoplada ecuación para la divergencia (de \boldsymbol{\beta} respecto de la conexión plana \mathcal{D}):

\Delta \Theta = \frac{3}{4} \mathcal{D}_{\hat{k}} S(\boldsymbol{\beta}^{\hat{k}}).

(3) Obtener \beta^r a partir de una de las siguiente ecuaciones:

(i) \frac{\partial^2 \beta^r}{\partial r^2} + \frac{4}{r} \frac{\partial \beta^r}{\partial r} + \frac{2 \beta^r}{r^2} + \frac{1}{r^2}\Delta_{\theta \varphi} \beta^r = S(\boldsymbol{\beta})^r - \frac{1}{3} \frac{\partial \Theta}{\partial r} + \frac{2}{r} \Theta

(ii) \Delta \chi = r S(\boldsymbol{\beta})^r - \frac{r}{3} \frac{\partial \Theta}{\partial r} + 2 \Theta , donde \chi = r \beta^r

(4) Deducir \eta de una de las siguientes ecuaciones:

(i) \Delta_{\theta \varphi} \eta = r \Theta - r \frac{\partial \beta^r}{\delta r} - 2 \beta^r, que tiene la ventaja de que solo requiere una división por -l (l+1) de los coeficientes de la expansión por armónicos esféricos pero la desventaja de que utiliza la derivada radial de \beta^r que puede tener problemas con el orden.

(ii) \Delta \eta = \eta_S - \frac{2 \beta^r}{r^2} - \frac{1}{3} \frac{\Theta}{r}, que requiere la resolución de otra ecuación de Poisson adicional.

Como ya comentamos, de la tesis de Bauswein, adoptando la foliación 3+1 del espacio-tiempo la métrica queda:

ds^2 = (- \alpha^2 + \beta_i \beta^i) dt^2 + 2 \beta_i dx^i dt + \gamma_{ij} dx^i dx^j

En la aproximación CFC resolvemos repetidamente el problema de valor inicial. De acuerdo con esta aproximación, la parte espacial de la métrica se puede escribir como:

\gamma_{ij} = \psi^4 \delta_{ij}

donde \psi es el factor conforme (una transformación conforme preserva los ángulos. En geometría Riemanniana, dos métricas de Riemann g y h sobre una variedad M son conformemente equivalentes si g=uh para alguna función positiva u sobre M. La función u es el factor conforme).

De esta manera, las ecuaciones de Einstein, asumiendo K := tr(K_{ij}) = K_i^i =0, se reducen al sistema de cinco PDE elipticas no lineales acopladas:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^5 E - \frac{1}{8} \psi^5 K_{ij}K^{ij}

\Delta(\alpha \psi) = 2 \pi \alpha \psi^5 (E + 2S) + \frac{7}{8} \alpha \psi^5 K_{ij}K^{ij}

\Delta \beta^i + \frac{1}{3}\partial^i \partial_j \beta^j = 16 \pi \alpha \rho W + 2 \psi^{10} K^{ij} \partial_j (\frac{\alpha}{\psi^6}) =: S_\beta

donde E = \rho h W^2 - P, S = \rho h (W^2 -1) + 3P y

K_{ij} = \frac{\psi^4}{2 \alpha} (\delta_{il} \partial_j \beta_l + \delta_{jl} \partial_i \beta^l - \frac{2}{3} \delta_{ij} \partial_k \beta^k )

que podemos escribir de manera mas compacta como:

\Delta B^i = S_\beta

\Delta \chi = \partial_i B^i

si definimos \beta^i = B^i - \frac{1}{4} \partial_i \chi y que es un sistema tipo Poisson que puede ser resuelto iterativamente hasta la convergencia con un método multigrid.

Las condiciones en la frontera se dan mediante desarrollo multipolar () de los terminos fuente, que son no compactas, hasta el armónico quadrupolar.

En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, también explica el formalismo 3+1.

Resolver las ecuaciones de campo de Einstein en la práctica es complicado, ya que son un sistema de 10 EDPs en 4D acopladas y no lineales con muchísimos términos. Se conocen soluciones exactas en situaciones muy concretas con un alto grado de simetría espacial o temporal (simetría esférica, simetría axial, soluciones estáticas, homogéneas, isotrópicas, etc.), pero en la mayoría de situaciones interesantes en astrofísica no se dan estas condiciones y tenemos que resolverlas utilizando aproximaciones numéricas mediante complicados programas.

En relatividad numérica, la idea es separar las ecuaciones de campo de Einstein de forma que podamos dar ciertas condiciones iniciales y, a partir de ellas, obtener la evolución del campo gravitacional. Existen diferentes maneras de hacerlo y el formalismo 3+1, que es el mas ampliamente utilizado, lo hace separando las tres componentes espaciales de la temporal.

Para estudiar la evolución en el tiempo, lo primero que se hace es formular un problema de Cauchy. En las ecuaciones de Einstein, el espacio y el tiempo son simétricos, por lo que primero debemos separar uno de otro. Lo que queremos es un espacio-tiempo orientable temporalmente de manera que podamos elegir de manera contínua a través del espacio-tiempo la mitad del cono de luz que contituye la dirección futura y de la mitad que corresponde a la dirección pasada. A la formulación de la relatividad general (GR) resultante de esta separación es el formalismo 3+1.

Un conjunto abierto U de un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico sii:

  1. Para cualquier par de puntos p y q, el conjunto \gamma^+(p) \cap \gamma^-(q) \subset U y es compacto, donde \gamma^\pm(S) son el futuro y pasado causal de una region S.
  2. No existen curvas espacio-temporales cerradas que pasen por U, prohibiendo los viajes al pasado en el tiempo y cumpliendose de esta manera el pricipio de causalidad en el abierto.

Una pfoliación de una variedad M de dimension n consiste en una partición de ésta en subvariedades diferenciables \{N_i\}_{i \in I} de dimensión \dim N_i = p<;m,\,\forall i\in I, por lo que localmente M tiene estrutura topologica de variedad producto. Por ejemplo, una 2-foliación del espacio \mathbb{R}^3 es \{ \mathbb{R}^2_z\}_{z \in \mathbb{R}}. La foliación de una variedad no es única (por ejemplo, \{ \mathbb{R}^2_y\}_{y \in \mathbb{R}} es otra foliación posible de \mathbb{R}^3, asumiendo que sabemos de que hablamos cuando nos referimos a z o y: planos con vector normal (0,0,1) en el primer caso y (0,1,0) en el segundo).

Todo espacio-tiempo globalmente hiperbólico puede ser foliado, es decir, separado en cortes tridimensionales apilados, de tal forma que cada hoja es una hipersuperficie de Cauchy espacial. Sea (t,x^i) un sistema de coordenadas tal que la función t es de gradiente temporal. Entonces las superficies t=cte (un tiempo “universal” que no tiene porque ser el tiempo propio de nadie) definen una foliación del espacio-tiempo. Denotaremos por \Sigma_t a la hipersuperfície de Cauchy de tiempo t.

Dada una foliación \Sigma_t definida para la función t, podemos encontrar campos vectoriales \xi de manera que \mathcal{L}_\xi t = 1. Llamamos base de evolución a la pareja (\xi,t). Podemos descomponer \xi de manera relativa a un observador euleriano:

\xi = \alpha n + \beta

donde n = \frac{dt}{|dt|} con g(n,n)=-1 es la normal a la foliación, \alpha es la función de paso y \beta el vector desplazamiento de la base de evolución. A cada base de evolución podemos asociarle unas coordenadas adaptadas de manera que \xi = \partial_t y (x^i) son coordenadas en \Sigma_t, de manera que \beta = \beta^i \partial_i.

Considerar diferentes \alpha es considerar diferentes foliaciones, por lo que el paso entre \Sigma_0 y \Sigma_t depende del punto de \Sigma_0 considerado: \alpha = \alpha(t,x^i).

El vector desplazamiento \beta determina \xi, define el difeomorfismo entre \Sigma_0 y \Sigma_t: si \beta=0 entonces \varphi_t(P_0) = \bar{P_t} con P_0 \in \Sigma_0 y \bar{P_t}\in \Sigma_t ambos sobre la misma curva integral de n, por lo que tenemos evolución sin desplazamiento. Si \beta \neq 0 entonces \varphi_t(P_0) = P_t en \Sigma_t desplazado respecto \bar{P_t}.

Por lo tanto, tenemos:

g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\alpha^2 + \beta_k \beta^k & \beta_i \\ \beta_j & \gamma_{ij} \end{pmatrix}

y

n^\mu = \frac{1}{\alpha}(1,-\beta^i), n_\mu = (-\alpha,0)

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura (-,+,+,+) y G=c=1):

G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}

donde G_{\mu\nu} es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, 8 \pi es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y T_{\mu\nu} es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como G_{\mu \nu}, T_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R}), tenemos 16 ecuaciones que se reducen a 10 por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son 10 PDEs acopladas en 4D.

El tensor de Einstein se define como:

G_{\mu \nu} := R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}R

donde R_{\mu \nu}:=R^\lambda_{\mu \lambda \nu} es el tensor de Ricci (R_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R})) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y R:=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión \nabla:

R(u,v)w = \nabla_u \nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\sigma \nu} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\sigma \mu} + \Gamma^\alpha_{\sigma \nu} \Gamma^\rho_{\alpha \mu} - \Gamma^\alpha_{\sigma \mu} \Gamma^\rho_{\alpha \nu}

y que con 4 índices en n dimensiones tiene n^4 componentes, de las que solo 20 (si n=4 y 4^4=256), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que R=0 \Leftrightarrow variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

v_\alpha = g_{\alpha \beta} v^\beta

v^\alpha = g^{\alpha \beta} v_\beta

R_{\rho \sigma \mu \nu} = g_{\rho \alpha} R^{\alpha}_{\sigma \mu \nu}

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo (0,4) (los elementos de la base pasan de ser de la forma \frac{\partial}{\partial_{x^\alpha}} \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta de un tensor de tipo (1,3) a ser de la forma dx^\alpha \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

  1. Antisimetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = - R_{\alpha \beta \delta \gamma} = -R_{\beta \alpha \gamma \delta}.
  2. Simetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = R_{\gamma \delta \alpha \beta}.
  3. Primera identidad de Bianchi: R_{\alpha[\beta\gamma\delta]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta} + R_{\alpha\gamma\delta\beta} + R_{\alpha\delta\beta\gamma} = 0.
  4. Segunda identidad de Bianchi:R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\epsilon]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta;\epsilon} + R_{\alpha\beta\delta\epsilon;\gamma} + R_{\alpha\beta\epsilon\gamma;\delta} = 0.

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

T^{00} = densidad de energía.

T^{0i} = densidad de momento.

T^{ij} = flujo de momento i a través de la superficie j.

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

G^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0 \Rightarrow T^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde ; indica la derivada covariante.

Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis “Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues” de I. Cordero podemos encontrarlas.

Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos lleva a la métrica de Schwarzschild (J=0, Q=0) que podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Schwarzschild (r,\theta,\varphi,\tau) con r > 2M y siendo \tau el tiempo propio:

g = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr \otimes dr + r^2 (d\theta \otimes d\theta + \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi)-(1-\frac{2M}{r})d\tau \otimes d\tau

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} \frac{1}{1-\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

y en física se suele escribir:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)-(1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Además, como d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2 es la métrica de S^2 (S^2(\theta,\varphi) = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) en ]0,\pi[ \times ]0,2\pi[ de manera que g_{11} = S^2_\theta \cdot S^2_\theta = 1, g_{12} = g_{21} = S^2_\theta \cdot S^2_\varphi = 0 y g_{22} = S^2_\varphi \cdot S^2_\varphi = \sin^2 \theta, con lo que g = d\theta \otimes d\theta + sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi), tenemos:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 d\Omega^2 - (1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Coordenadas isotrópicas (\bar{r},\theta,\varphi,\tau) con r = \bar{r} (1 + \frac{M}{2\bar{r}})^2 respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = (1+\frac{M}{2\bar{r}})^4(d\bar{r}^2+ \bar{r}^2 d\Omega^2 )- \big (\frac{1-\frac{M}{2\bar{r}}}{1+\frac{M}{2\bar{r}}} \big) d\tau^2

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo propio constante son conformemente planas y singulares en el horizonte.

Coordenadas de Painlevé-Gullstrand-Lemaître (r,\theta,\varphi, T) con dT = d\tau + \frac{\sqrt{\frac{2M}{r}}}{1-\frac{2M}{r}}dr respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2 + 2 \sqrt{\frac{2M}{r}}dTdr - (1-\frac{2M}{r})dT^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{2M}{r}} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \sqrt{\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Coordenadas de Eddington-Finkelstein (t, r, \theta, \varphi) con t = \tau + 2M \ln |\frac{r}{2M} - 1| respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = \frac{1}{1+\frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 d\Omega^2 + \frac{4M}{r} dtdr - (1-\frac{2M}{r})dt^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1+\frac{2M}{r} & 0 & 0 & \frac{2M}{r} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \frac{2M}{r} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo constante son planas y regulares en el horizonte.

En el llibre “Geometria diferencial i relativitat” de J. Girbau tambe comenta les coordenadas de Kruskal-Szekeres (u,v,\theta,\varphi):

ds^2 = \frac{32M^3}{r} e^{-\frac{r}{2M}} (du^2 - dv^2) + r^2 d\Omega^2

donde

u=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \cosh \frac{\tau}{4M}

y

v=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \sinh \frac{\tau}{4M}

No hay singularidad física en r=2M, pero hay dos en r=0.

En segundo lugar, tenemos la métrica de Kerr (J \neq 0, Q = 0) que también podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Boyer-Lindquist (r,\theta,\varphi,t):

ds^2 = \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \tilde{w}^2(d\varphi - wdt)^2 - (\frac{\rho \sqrt{\Delta}}{\Sigma})^2dt^2

donde

\Delta = r^2 -2Mr + a^2

\rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2 \theta

\Sigma^2 = (r^2 + a^2)^2 - a^2 \Delta \sin^2 \theta

w = \frac{2aMr}{\Sigma^2}

\tilde{w} = \frac{\Sigma \sin \theta}{\rho}

y siendo a el momento angular del BH. Fijando a=0 obtenemos el BH de Schwarzchild en coordenadas de Schwarzchild.

Coordenadas de Kerr-Schild (r,\theta,\bar{\varphi},\bar{t}):

ds^2 = \frac{Z^{2k}-1}{Z-1} dr^2 + \rho^2 d\theta^2+ \sin^2 \theta \rho^2 [1+Y(1+Z)] d\bar{\varphi}^2 - (1-Z) d\bar{t}^2+

+2a\epsilon \sin^2 \theta \frac{Z^{k+1}-1}{Z-1}drd\bar{\varphi} -2 \epsilon Z^k dr d\bar{t} -2 a \sin^2 \theta Z d\bar{\varphi}d\bar{t}

donde

Y = \frac{a^2 \sin^2 \theta}{\rho^2}, Z = \frac{2Mr}{\rho^2}

y \epsilon = +1(-1) regulariza el horizonte futuro (pasado) del BH. La relación con las anteriores coordenadas viene dada por

d\bar{\varphi} = d\varphi - \epsilon \frac{a}{\Delta} dr

d\bar{t} = dt - \epsilon [ \frac{1+Y}{1+Y-Z} - \frac{1-Z^k}{1-Z} ] dr

donde \Delta es la función horizonte, que es cero en el horizonte y hace que la componente g_{tt} de la métrica se anule.

junio 2017
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