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En la Lecture III del curso sobre GR de C. Hirata nos comenta, por una parte, operaciones sobre tensores, y por otra, electrodinámica en relatividad especial.

La primera operación que define es el producto tensorial. Dados dos tensores A y B de tipo \binom{m}{n} y \binom{p}{q} respectivamente, podemos construir un nuevo tensor A \otimes B de tipo \binom{m+p}{n+q} haciendo:

(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})(\boldsymbol{\tilde{k}},\ldots,\boldsymbol{u},\boldsymbol{\tilde{l}},\ldots,\boldsymbol{v}):=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\tilde{k}}\ldots\boldsymbol{u})\boldsymbol{B}(\boldsymbol{\tilde{l}},\ldots,\boldsymbol{v})

que en components queda:

(A \otimes B)^{\alpha_1 \ldots \alpha_m\,\,\gamma_1 \ldots \gamma_p}_{\beta_1 \ldots \beta_n \,\, \delta_1 \ldots \delta_q} = A^{ \alpha_1 \ldots \alpha_m}_{\beta_1 \ldots \beta_n} B^{\gamma_1 \ldots \gamma_p}_{\delta_1 \ldots \delta_q}

Comenta la idea intuitiva que lo que estamos haciendo es la generalización  a tensores de rango arbitrario del hecho de construir la matriz \boldsymbol{u}\boldsymbol{v^T} a partir de los dos vectores (columna, siempre columna los vectores…) \boldsymbol{u} y \boldsymbol{v}.

Ya comentamos que:

\boldsymbol{d}f(\boldsymbol{v}) = \frac{d}{dt}(\boldsymbol{x}(t) \circ f)|_{t=0}.

Podemos generalizarlo para un tensor \boldsymbol{T} de rango cualquiera. Por ejemplo, con rango \binom{1}{1} tendriamos T^{\alpha}_{\beta} y:

(\boldsymbol{\nabla T}

Contracción de un tensor

Transposición de un tensor

Simetrización y antisimetrización de un tensor

Producto exterior

Tensor de volumen

Derivada exterior

Con respecto a la parte de electrodinámica, empezamos con la fuerza de Lorentz clásica, que es la fuerza que experiementa una particula de masa m y carga e sometida a un cambo electromagnético:

m \frac{d}{dt} \boldsymbol{v} = e( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} ).

Para su generalización en SR necesitamos, por una parte, que la ecuación sea invariante Lorentz, y por otra, pensar como se generaliza el producto vectorial. La opción mas simple y que funciona es, pensando en 4-aceleraciones, el campo electromagnético y las 4-velocidades, la siguiente:

\frac{d}{d\tau}p^{\alpha} = m^{\alpha} = e F^{\alpha}_{\beta} u^{\beta}

Tenemos ahora 16 ecuaciones mientras que, hasta ahora, teniamos 6: 3 para el campo eléctrico y 3 para el campo magnético.

Ecuaciones de Maxwell

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Para un observador inicial, si denotamos con \vec{E} al campo eléctrico, \vec{B} al campo magnético, \rho a la densidad de carga y \vec{J} a la densidad de corriente, entonces tenemos las ecuaciones de Maxwell:

\nabla \cdot \vec{E} = \rho

\nabla \times \vec{E} + \vec{B}_t = 0

\nabla \cdot \vec{B} = 0

\nabla \times \vec{B} - \vec{E}_t = \vec{J}

y la ecuación de continuidad o de conservación de carga:

\rho_t + \nabla \cdot \vec{J} = 0

Si el observador inercial se encuentra en el espacio-tiempo de Minkowski, las ecuaciones de Maxwell se expresan como dos ecuaciones de ligadura:

\nabla \cdot \vec{E} = \rho

\nabla \cdot \vec{B} = 0

y seis ecuaciones de evolución:

\vec{E}_t = \nabla \times \vec{B} - \vec{J}

\vec{B}_t = -\nabla \times \vec{E}

Si en un instante t=t_0 se cumplen las ecuaciones de ligadura y si la carga eléctrica se conserva en un entorno de t=t_0,

\rho_t + \nabla \cdot \vec{J} = 0,

entonces las ecuaciones de ligadura se cumplen en ese entorno (como consecuencia de las ecuaciones de evolución).

octubre 2019
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