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Cuando trabajamos en \mathbb{K}^n, con \mathbb{K}=\mathbb{R} o \mathbb{K} = \mathbb{C}, podemos hacerlo en distintos sistemas de coordenadas. Por ejemplo, en \mathbb{R}^2 puedo trabajar en coordenadas cartesianas (x,y) o en coordenadas polares (r,\theta); 0 en \mathbb{R}^3 lo puedo hacer en cartesianas (x,y,z), en cilíndricas (r,\theta,z) o en esféricas (r,\theta,\varphi).

En el cálculo vectorial, en la geometría diferencial o en las ecuaciones en derivadas parciales, lo que hacemos es trabajar con el concepto de diferenciación y lo hacemos en el espacio tangente, que como tiene estructura de espacio vectorial, dispone del concepto de base:

(x,y) \longrightarrow \{ \partial_x, \partial_y \},

(r,\theta) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta \},

(x,y,z) \longrightarrow \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \},

(r,\theta,z) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_z \},

(r,\theta,\varphi) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \},

y es aquí donde tienen sentido las bases holonómicas, todas las anteriores, los cambios de base que comentamos en este post. Las compactificaciones de aquí, por contra, solo tienen sentido al especificar el sistema de coordenadas.

Para nuestras ecuaciones en derivadas parciales, el primer paso será fijar que coordenadas utilizamos en la variedad (compactificaciones) y, hecho esto, determinar que base (holonómica, ortonormal, etc.) queremos utilizar en su fibrado tangente. Por ejemplo, podríamos tener:

(r, \theta, \varphi) \longrightarrow (\partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi),

porque nos resulta comodo tener una bases ortonormal en el espacio tangente.

Dada una variedad diferenciable M, una curva diferenciable en M es una aplicación diferenciable \alpha:]a,b[ \longrightarrow M donde a,b \in \mathbb{R} y a<b.

Dado un punto m:

  1. denotaremos por \mathcal{C}(M,m) al conjunto de curvas diferenciables \alpha:]a,b[ \longrightarrow M tales que a<0<b y \alpha(0) = m.
  2. denotamos por \mathcal{F}(M,m) al conjunto de funciones diferenciables f:U \longrightarrow \mathbb{R} tales que U es un entorno abierto de m en M.

Definimos en \mathcal{C}(M,m) la relación de equivalencia \sim de la siguiente manera:

\alpha \sim \beta \Leftrightarrow (f \circ \alpha)'(0) = (f \circ \beta)'(0),\,\forall \alpha,\beta \in \mathcal{C}(M,m),\,\forall f \in \mathcal{F}(M,m)

Llamamos espacio tangente a M en m a

T_mM := \frac{\mathcal{C}(M,m)}{\sim}

A los elementos de T_mM se les llama vectores tangentes a M en m, y son clases de equivalencia de curvas diferenciables respecto de la relación anterior.

Denotamos por p:\mathcal{C}(M,m) \longrightarrow T_mM a la aplicación que a cada curva \alpha le asocia su clase de equivalencia. Además, v(f) :=(f \circ \alpha)'(0) donde f \in \mathcal{F}(M,m) y v = p(\alpha) con \alpha \in \mathcal{C}(M,m).

Si la dimensión de la variedad es n y (U,\varphi) es una carta cualquiera con m \in U, entonces:

  1. denotamos por \{ e_i\}_{i=1}^{n} a la base canónica de \mathbb{R}^n.
  2. definimos las curvas coordenadas \tau_i \in \mathcal{C}(M,m) como \tau_i(t) := \varphi^{-1}(\varphi(m)+te_i).
  3. definimos los vectores tangentes coordenados respecto de la carta (U,\varphi) como \frac{\partial}{\partial \varphi^i}|_m = p(\tau_i) \in T_mM.

Los vectores

\{ \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_m, \cdots, \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_m \}

forman una base de T_mM, por lo que para todo v \in T_mM tenemos que:

v = \sum_{i=1}^n v(\varphi^i) \frac{\partial}{\partial \varphi^i}|_m

y \dim T_mM = \dim M = n.

Llamamos espacio cotangente a M en m al espacio vectorial dual de T_mM y que denotamos por T_m^*M, o sea:

T_m^*M := (T_mM)^* = \mathcal{L}(T_mM,\mathbb{R})

A los elementos de T_m^*M se les denomina 1-formas de M en m. Las 1-formas:

\{ d\varphi_m^1, \cdots, d\varphi_m^n \}

forman una base de T_m^*M que es, a su vez, la base dual de:

\{ \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_m, \cdots, \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_m \}

Es evidente, por tanto, que \dim T_m^*M = \dim T_m M = n.

Llamamos fibrado tangente TM a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios tangentes T_mM con m \in M, es decir:

TM := \bigsqcup_{m \in M} T_mM

Podemos construir un atlas para el fibrado a partir de los atlas de cada una de las variedades tangentes. A partir de esta construcción deducimos que \dim TM = 2n

De la misma manera, llamamos fibrado cotangente T^*M a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios cotangentes T_m^*M con m \in M, es decir:

T^*M := \bigsqcup_{m \in M} T_m^*M

Ademas, \dim T^*M = \dim TM = 2n

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