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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos (M,g), donde M es una variedad diferencial abstracta y g es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

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En palabra de Terry Tao:


En la física, el espacio de fases es un concepto que unifica la mecánica clásica (Hamiltoniana) con la mecánica cuántica; en matemáticas, el espacio de fases es un concepto que unifica la geometría simpléctica con el análisis armónico y las PDE.

En mecánica clásica, el espacio de fases es el espacio de todas las posibles configuraciones de un sistema: no solo las posiciones q de todos los objetos del sistema, sino también sus momentos p. Matemáticamente, el espacio de configuraciones puede definirse como una variedad M de manera que, para cada posicion q \in M, los momentos p toman valores en el espacio  cotangente T_q^*M. De esta manera, el espacio de fases puede verse de manera natural como el fibrado cotangente:

T^*M:=\bigsqcup_{q \in M} T_q^*M,

y, como ya vimos en ese mismo post, si \dim M = n entonces \dim T^*M = \dim TM = 2n, es decir, que el espacio de fases siempre va a tener dimensión par.

Dada una variedad diferenciable M, una curva diferenciable en M es una aplicación diferenciable \alpha:]a,b[ \longrightarrow M donde a,b \in \mathbb{R} y a<b.

Dado un punto m:

  1. denotaremos por \mathcal{C}(M,m) al conjunto de curvas diferenciables \alpha:]a,b[ \longrightarrow M tales que a<0<b y \alpha(0) = m.
  2. denotamos por \mathcal{F}(M,m) al conjunto de funciones diferenciables f:U \longrightarrow \mathbb{R} tales que U es un entorno abierto de m en M.

Definimos en \mathcal{C}(M,m) la relación de equivalencia \sim de la siguiente manera:

\alpha \sim \beta \Leftrightarrow (f \circ \alpha)'(0) = (f \circ \beta)'(0),\,\forall \alpha,\beta \in \mathcal{C}(M,m),\,\forall f \in \mathcal{F}(M,m)

Llamamos espacio tangente a M en m a

T_mM := \frac{\mathcal{C}(M,m)}{\sim}

A los elementos de T_mM se les llama vectores tangentes a M en m, y son clases de equivalencia de curvas diferenciables respecto de la relación anterior.

Denotamos por p:\mathcal{C}(M,m) \longrightarrow T_mM a la aplicación que a cada curva \alpha le asocia su clase de equivalencia. Además, v(f) :=(f \circ \alpha)'(0) donde f \in \mathcal{F}(M,m) y v = p(\alpha) con \alpha \in \mathcal{C}(M,m).

Si la dimensión de la variedad es n y (U,\varphi) es una carta cualquiera con m \in U, entonces:

  1. denotamos por \{ e_i\}_{i=1}^{n} a la base canónica de \mathbb{R}^n.
  2. definimos las curvas coordenadas \tau_i \in \mathcal{C}(M,m) como \tau_i(t) := \varphi^{-1}(\varphi(m)+te_i).
  3. definimos los vectores tangentes coordenados respecto de la carta (U,\varphi) como \frac{\partial}{\partial \varphi^i}|_m = p(\tau_i) \in T_mM.

Los vectores

\{ \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_m, \cdots, \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_m \}

forman una base de T_mM, por lo que para todo v \in T_mM tenemos que:

v = \sum_{i=1}^n v(\varphi^i) \frac{\partial}{\partial \varphi^i}|_m

y \dim T_mM = \dim M = n.

Llamamos espacio cotangente a M en m al espacio vectorial dual de T_mM y que denotamos por T_m^*M, o sea:

T_m^*M := (T_mM)^* = \mathcal{L}(T_mM,\mathbb{R})

A los elementos de T_m^*M se les denomina 1-formas de M en m. Las 1-formas:

\{ d\varphi_m^1, \cdots, d\varphi_m^n \}

forman una base de T_m^*M que es, a su vez, la base dual de:

\{ \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_m, \cdots, \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_m \}

Es evidente, por tanto, que \dim T_m^*M = \dim T_m M = n.

Llamamos fibrado tangente TM a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios tangentes T_mM con m \in M, es decir:

TM := \bigsqcup_{m \in M} T_mM

Podemos construir un atlas para el fibrado a partir de los atlas de cada una de las variedades tangentes. A partir de esta construcción deducimos que \dim TM = 2n

De la misma manera, llamamos fibrado cotangente T^*M a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios cotangentes T_m^*M con m \in M, es decir:

T^*M := \bigsqcup_{m \in M} T_m^*M

Ademas, \dim T^*M = \dim TM = 2n

diciembre 2017
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