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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos , donde
es una variedad diferencial abstracta y
es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.
En palabra de Terry Tao:
En la física, el espacio de fases es un concepto que unifica la mecánica clásica (Hamiltoniana) con la mecánica cuántica; en matemáticas, el espacio de fases es un concepto que unifica la geometría simpléctica con el análisis armónico y las PDE.
En mecánica clásica, el espacio de fases es el espacio de todas las posibles configuraciones de un sistema: no solo las posiciones de todos los objetos del sistema, sino también sus momentos
. Matemáticamente, el espacio de configuraciones puede definirse como una variedad
de manera que, para cada posicion
, los momentos
toman valores en el espacio cotangente
. De esta manera, el espacio de fases puede verse de manera natural como el fibrado cotangente:
,
y, como ya vimos en ese mismo post, si entonces
, es decir, que el espacio de fases siempre va a tener dimensión par.
Dada una variedad diferenciable , una curva diferenciable en
es una aplicación diferenciable
donde
y
.
Dado un punto :
- denotaremos por
al conjunto de curvas diferenciables
tales que
y
.
- denotamos por
al conjunto de funciones diferenciables
tales que
es un entorno abierto de
en
.
Definimos en la relación de equivalencia
de la siguiente manera:
Llamamos espacio tangente a en
a
A los elementos de se les llama vectores tangentes a
en
, y son clases de equivalencia de curvas diferenciables respecto de la relación anterior.
Denotamos por a la aplicación que a cada curva
le asocia su clase de equivalencia. Además,
donde
y
con
.
Si la dimensión de la variedad es y
es una carta cualquiera con
, entonces:
- denotamos por
a la base canónica de
.
- definimos las curvas coordenadas
como
.
- definimos los vectores tangentes coordenados respecto de la carta
como
.
Los vectores
forman una base de , por lo que para todo
tenemos que:
y .
Llamamos espacio cotangente a en
al espacio vectorial dual de
y que denotamos por
, o sea:
A los elementos de se les denomina 1-formas de
en
. Las 1-formas:
forman una base de que es, a su vez, la base dual de:
Es evidente, por tanto, que .
Llamamos fibrado tangente a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios tangentes
con
, es decir:
Podemos construir un atlas para el fibrado a partir de los atlas de cada una de las variedades tangentes. A partir de esta construcción deducimos que
De la misma manera, llamamos fibrado cotangente a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios cotangentes
con
, es decir:
Ademas,