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Una función f:\Omega \rightarrow \mathbb{C} es diferenciable en z_0 \in \Omega si existe el límite:

f'(z_0) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h},

donde f'(z_0) es la derivada de f(z) en z_0.

Diremos que f(z) es holomorfa en z_0 \in \Omega si es diferenciable en todos los puntos de un entorno \mathcal{U}(z_0). Diremos que es holomorfa  en \Omega si lo es \forall z \in \Omega. Diremos que una función es entera cuando \Omega = \mathbb{C}.

Si la función

f(z) = u(x,y) + i \, v(x,y)

es diferenciable en z_0 = (x_0,y_0) \in \Omega, existen u_x, u_y, v_x, v_y y cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (C-R):

u_x = v_y y u_y = -v_x.

Notar que para hablar de funciones holomorfas en relación a funciones de variable real, necesitamos funciones de dos variables cumpliendo C-R.

El principio del módulo máximo, que es un teorema, nos dice que si f(z) es holomorfa y no constante en un dominio abierto y conexo (si no es conexo, el teorema es válido para cada componente conexa) \Omega entonces |f(z)| no tiene ningún máximo en \Omega.

Tenemos dos corolarios:

  1. si \Omega acotado y f es contínua en \bar{\Omega}, entonces f asume el máximo en la frontera \partial \Omega,
  2. si tomamos g:=1/f tenemos el principio del módulo mínimo y su correspondiente versión en compactos.

Finalmente, diremos que una función u es armónica si cumple la ecuación de Laplace \Delta u = 0. Es fácil demostrar que si f (z)= u(x,y) + i \, v(x,y) es holomorfa en \Omega entonces u(x,y) y v(x,y) son armónicas en \Omega. Se las llama armónicas conjugadas.

Existe una versión del principio del módulo máximo para funciones armónicas: si u(x,y) es armónica en un dominio simplemente conexo \Omega, entonces la función u(x,y) no tiene ningún máximo en \Omega.

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Definición (Función holomorfa): Sean U \subset \mathbb{C} abierto, f: U \longrightarrow \mathbb {C} y z_0 \in U. Decimos que f es holomorfa (derivable o entera) en z_0 si existe:

\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = f'(z_0).

Diremos que es derivable en U si lo es todo sus puntos. Representaremos por \mathcal{H}(U) al conjunto de todas las funciones holomorfas en U. Si f \in \mathcal{H}(U) entonces también es continua en U.

Teorema (Reglas de derivación): es sencillo deducir las reglas de derivación compleja para la suma, producto, cociente y la regla de la cadena.

Teorema: Sea f(z) = \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n una serie de potencias con radio de convergencia R>0. Entonces f es holomorfa en D(z_0,R) y f'(z) = \sum_{n \geq 1} n c_n z^{n-1} con radio de convergencia R.

Corolario: Si f es analítica en U entonces f es holomorfa en U y f \in C^{\infty}(U) (el recíproco veremos que también es cierto).

Definición (Ecuaciones de Cauchy-Riemann): Si f(z) = u + iv es derivable en z_0 = x_0 + i y_0, entonces existen las derivadas parciales u_x, u_y, v_x, v_y y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

u_x = v_y y u_y = -v_x.

De esta manera, las funciones derivables complejas no son mas que funciones diferenciables de \mathbb{R}^2 cumpliendo unas ecuaciones adicionales.

Teorema (Condición suficiente de derivabilidad): Sea f: U \longrightarrow \mathbb{C} continua con U \subset \mathbb{C} abierto y f(z)=u+iv. Si las cuatro derivadas parciales u_x, u_y, v_x, v_y existen, son continuas en U y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es derivable en U.

mayo 2018
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