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Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica (J \neq 0 y Q = 0). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

g = - (1-\frac{2Mr}{\Sigma})dt \otimes dt - \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}dt \tilde{\otimes} d\varphi +

+ \frac{\Sigma}{\Delta}dr \otimes dr + \Sigma d\theta \otimes d\theta + (r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta}{\Sigma})sin^2\theta d\varphi \otimes d\varphi

donde a:=\frac{J}{M}, \Delta:= r^2 - 2Mr + a^2 y \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \theta. El agujero negro está rotando en la dirección +\varphi y el espín está restringido al rango 0 \leq \frac{a}{M} \leq 1. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando a=0.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en 4 dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

\left(  \begin{array}{cccc}  -1+\frac{2 M \text{x2}}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} \\  0 & \frac{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}}{\frac{J^2}{M^2}-2 M \text{x2}+\text{x2}^2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & \text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2} & 0 \\  -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & \text{Sin}[\text{x3}]^2 \left(\frac{J^2}{M^2}+\text{x2}^2+\frac{2 J^2 \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{M \left(\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}\right)}\right)  \end{array}  \right)

y en un momento obtenemos:

\Gamma^{1}_{\alpha \beta}:

Gamma1

\Gamma^2_{\alpha \beta}:

Gamma2

\Gamma^3_{\alpha \beta}:

Gamma3

\Gamma^4_{\alpha \beta}:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

\frac{d^2}{dt^2}x^i + \Gamma^i_{jk} \frac{d}{dt}x^j \frac{d}{dt}x^k = 0.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases} \ddot{t} + \ldots = 0 \\ \ddot{r} + \ldots = 0 \\ \ddot{\theta} + \ldots = 0 \\ \ddot{\varphi} + \ldots = 0 \end{cases}

donde, por ejemplo, para \theta tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

\ddot{\theta} -

- \frac{J^2 M^5 r \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t}^2 + \frac{J^2 M^2 \text{Sin}[\theta]}{2 \left(J^2+M^2 r (-2 M+r)\right) \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)} \dot{r}^2 - \frac{J^2 \text{Sin}[\theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 \text{Cos}[\theta]} \dot{\theta}^2 -

-\frac{\left(J^2+M^2 r^2\right) \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^2 \text{Sin}[\theta]+4 J^2 M^3 r \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right) \text{Sin}[\theta]^3+J^4 M^3 r \text{Sin}[\theta]^5}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{\varphi}^2 +

+ \frac{J M^4 r \left(4 M^2 r^2 \text{Cos}[\theta]+J^2 (3+\text{Cos}[2 \theta])\right) \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t} \dot{\varphi} + \frac{r}{r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta]}{M^2}} \dot{r} \dot{\theta} = 0

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Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann (S^2(1/a^2),g) con

g = \left(  \begin{array}{cc}  a^2 & 0 \\  0 & a^2 \sin^2 \theta  \end{array}  \right)

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva \gamma:I \longrightarrow M diferenciable, \forall a,b \in I, a < b, se define la longitud del segmento de curva \alpha, desde a hasta b, como:

L [\gamma]_a^b=\int_a^b || \gamma'||dt con ||\gamma'|| = \sqrt{g(\gamma',\gamma')},

es decir:

L [\gamma]_a^b=\int_a^b \sqrt{g_{ij} \gamma'^i \gamma'^j} dt

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, \varphi=0 ,parametrizado sobre la esfera como \gamma(\theta,0)=a(\sin \theta, 0, \cos \theta) con \theta \in ]0,\pi[. Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es \gamma(\theta)=(\theta,0) con \theta \in ]0,\pi[. Calculamos \dot{\gamma}(t) = (1,0), de manera que \dot{\gamma}^1(t) = 1\dot{\gamma}^2(t)=0. Entonces:

L[\gamma]_0^{\pi} = \int_0^{\pi} \sqrt{\sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 g_{ij} \dot{\gamma}^i(t) \dot{\gamma}^j(t)} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{ a^2 } dt = a \int_0^{\pi} dt = a \pi

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}), pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en 0 y cambio discontínuo de la normal a la superfície en \theta = \frac{\pi}{2}) de su meridiano 0 sabiendo su parametrización en coordenadas (\theta, \phi) sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

\gamma(\theta,\varphi) = (\theta, 0) con \theta \in ]b,c[

g = \left(  \begin{array}{cc}  a^2 \cot^2 \theta & 0 \\  0 & a^2 \sin^2 \theta  \end{array}  \right)

de manera que, procediendo como antes:

L[\gamma]_b^c = a \int_b^{c} \sqrt{cot^2 \theta} d\theta = a \sqrt{cot^2 \theta} \tan \theta \ln[\sin \theta]|_{b}^{c}.

Por ejemplo, para a=1, b = \frac{\pi}{4} y c = \frac{\pi}{2} nos queda L[\gamma]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\ln{2}}{2} y para L[\gamma]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} = -\ln{\sin \frac{\pi}{8}}.

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita \nabla, que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales X, Y, como T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y], lo que tenemos es que \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]) que preserva la métrica (\nabla_g = 0) para calcular las geodésicas?

Pues no.  En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

  • Llamamos geodésica a toda curva x(t) tal que \nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)} = 0.
  • En coordenadas, \nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i \Gamma_{ij}^k) e_k.
  • En una carta local (U,x^i), le ecuación \nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)} se escribe \frac{d^2 x^i}{dt^2}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0 donde \Gamma_{jk}^i son los símbolos de Christoffel relativos a la base \partial_{x^i}.
  • “muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler”, como es mi caso :-), “tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante \nabla asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad”.
  • Tendremos la métrica g que depende de x^1,\ldots,x^n. Escribimos, formalmente, la función de 2n variables x^i, \dot{x}^i que volvemos a denotar g abusando de la notación. Entonces, con la convención \frac{d}{dt}x^i = \dot{x}^i y \frac{d}{dt}\dot{x}^i = \ddot{x}^i, las ecuaciones de las geodésicas son: \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{x}^i} g = \frac{\partial}{\partial x ^i} g .

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera S^2(\frac{1}{a^2}). Como:

g = a^2 d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

entonces:

g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2,

de manera que:

\partial_\theta g = a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}^2

\partial_\varphi g = 0

\partial_{\dot{\theta}} g = a^2 \, 2 \dot{\theta} y entoces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = a^2 2 \ddot{\theta}

\partial_{\dot{\varphi}} g = a^2 \sin^2 \theta 2 \dot{\varphi} y entonces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \sin \theta (\cos \theta \dot{\theta} \dot{\varphi} + \sin \theta \ddot{\varphi}).

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases}\ddot{\theta} - \dot{\varphi}^2 \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \sin \theta (2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta + \ddot{\varphi} \sin \theta) = 0 \end{cases}

En el caso de la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}) tenemos:

g = a^2 \cot^2 \theta d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

entonces:

g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \cot^2 \theta \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2,

de manera que:

\partial_\theta g = 2 a^2 (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta )

\partial_\varphi g = 0

\partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \dot{\theta} \cot^2 \theta y entoces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta )

\partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \dot{\varphi} \sin^2 \theta y entonces \frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g =2 a^2 \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta ).

Así pues, las geodésicas cumplen:

\begin{cases} \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta) - (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta ) = 0 \\ \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta ) = 0 \end{cases}

Para terminar, procediento de la misma manera para \mathbb{R}^2 obtenemos que las geodésicas satisfacen:

\begin{cases} \ddot{\theta} = 0 \\ \ddot{\varphi} = 0 \end{cases}

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