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Geometría euclideana, geometría analítica, geometría afín, geometría proyectiva, geometría elíptica, geometría hiperbólica, geometría simplectica, geometría Riemanniana, geometría Lorentziana, geometría conforme, geometría diferencial, geometría lineal, geometría algebraica

¿Qué es, en esencia, una geometría? Felix Klein en su Programa de Erlangen nos lo aclara: es el estudio de los invariantes bajo un grupo de transformaciones, donde grupo se refiere a la estructura algebraica y no al mero conjunto.

Cuando en matemáticas estudiamos una estructura algebraica determinada, un objeto en la Teoria de categorías, supongamos el espacio afín para fijar ideas, a continuación siempre se estudian las aplicaciones entre éstas, los morfismo en la Teoría de categorías, que conservan la estructura en realidad, aplicaciones entre las estructuras que respetan ciertos invariantes característicos de estas estructuras (la idea es que obtendremos el mismo valor para el invariante si trabajamos en la estructura de salida y finalmente transformamos a la estructura  que si primero transformamos para trabajar en el destino), en particular aquellas cuyos conjuntos de salida y de llegada coinciden, los endomorfismos, que en el caso que nos ocupa, por ejemplo, serían las transformaciones afines o afinidades. De esta manera, la geometría afín es el estudio de los invariantes por las traslaciones.

Es mas, no es la geometría la que induce el grupo, sino el grupo el que genera la geometría: dame el grupo de transformaciones admisible y te construiré su geometría.

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Tiene Terry Tao una explicación en 20 posts de la demostración de la conjetura de Poincaré hecha por Perelman.

Enlazo aquí su Lecture 0 que nos puede servir tanto como introducción de los conceptos básicos de la geometría Riemanniana, que hemos tratado anteriormente en unos cuantos posts, como para ir leyendo el resto de posts en los que se sumerge en la explicación de la (complicadísima) demostración…

Enlazo también un artículo interesante sobre Grisha en el que se puede leer algo asombroso:

Todos sus compañeros de escuela y del club de matemáticas en el que estaba inscrito (en la antigua URSS los clubes de matemáticas, a los que asistían los estudiantes después de clases, jugaban un papel central en su formación) recuerdan como rasgo sobresaliente de Perelman no su rapidez ni su elegancia o brillantez para resolver un problema, sino más bien el nada despreciable hecho de que jamás, ni una sola vez, hubo un error en sus soluciones.

octubre 2019
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