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En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie.

Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una parte, \mathbb{K}^n es una variedad de dimensión n y clase C^\infty con el atlas \mathcal{A} formado por la única carta \mathcal{A} = \{ id: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n \}, y por otra, por la propiedad que ahora enunciaremos, todo espacio vectorial es una variedad diferenciable:

Sea (M,\mathcal{A}) una variedad diferenciable de dimensión n y clase C^k. Si \mathcal{A} = \{ \Phi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I} y f: M \rightarrow N una aplicación biyectiva, entonces (N,\mathcal{A}_f) es una variedad diferenciable del mismo tipo, donde:

\mathcal{A}_f = \{ (\Phi_\alpha \circ f^{-1}): f(U_\alpha) \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I}.

Esta propiedad se cumple, en particular, cuando V es un espacio vectorial de dimensión n y base \{ u_1, \ldots, u_n\}, dado que existe un único isomorfismo lineal f: \mathbb{K}^n \rightarrow V determinado por f(e_i) = u_i, donde \{ e_1, \ldots, e_n\} es la base canónica de \mathbb{K}^n.

En resumen, sea M = End_{\mathbb{K}^n}(\mathbb{K}^n) el conjunto de endomorfismos de \mathbb{K}^n en \mathbb{K}^n, entonces es una variedad diferenciable por ser un espacio vectorial. Además, el grupo general lineal también lo es por ser un subconjunto abierto de M. Para los grupos ortogonales y unitarios necesitamos una proposición adional que permite construir grupos de Lie a partir de cocientes.

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Cuando decimos que G es un grupo topológico queremos decir que G, además de cumplir con las condiciones de grupo (operación interna . asociativa con neutro e inversos) también es un espacio topológico separable y las funciones f(a,b)=ab y g(a)=a^{-1} son contínuas (por ejemplo, en el primer caso, para todo entorno W de c = ab existen entornos U y V con a \in U y b \in V tales que UV \subset W ).

El conjunto GL(n,\mathbb{K}) de todas las matrices regulares de orden n con elementos en \mathbb{K}, un cuerpo de característica 0, es un grupo respecto a la multiplicación de matrices: el grupo lineal general.

Es sencillo comprobar que la matriz identidad I es el elemento neutro y que A^{-1} es el inverso de A.

Como los elementos de A = a^{i}_{j} los podemos vectorizar, resulta que GL(n,\mathbb{K}) \subset \mathbb{K}^{n^{2}} tal que \det A \neq 0. Llamaremos topología natural de G a la topología inducida por la topología natural de \mathbb{K}^{n^2}:

U_k = \{ C \in GL(n,\mathbb{K}): |c^{i}_{j} - a^{i}_{j} < \frac{1}{k}| \}

es una base de entornos del elemento A \in GL(n,\mathbb{K}).

Finalmente, las aplicaciones f^{i}_{j}(A,B)=a^{i}_{k} b^{k}_{j} y g^{i}_{j} = \frac{A^{i}_{j}}{det A}, donde A^{i}_{j} son los adjuntos de los elementos a^{i}_{j}, son contínuas por ser polinomios.

Tomando bases, para cualquier \mathbb{K} espacio vectorial \mathbb{V} de dimension n, podemos identificar GL(\mathbb{V}) con GL(n,\mathbb{K}).

Los grupos lineales son subgrupos cerrados de GL(n,\mathbb{K}) que se distinguen por dejar invariante una forma bilineal \Phi. El grupo seudoortogonal O(p,q), el grupo ortogonal O(n) y el grupo ortogonal especial SO(n), que aparecen cuando \mathbb{K}=\mathbb{R} y el grupo seudounitario U(p,q), el grupo unitario U(n) y el grupo unitario especial SU(n) que lo hacen cuando \mathbb{K} = \mathbb{C}.

octubre 2019
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