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En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie.

Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una parte, \mathbb{K}^n es una variedad de dimensión n y clase C^\infty con el atlas \mathcal{A} formado por la única carta \mathcal{A} = \{ id: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n \}, y por otra, por la propiedad que ahora enunciaremos, todo espacio vectorial es una variedad diferenciable:

Sea (M,\mathcal{A}) una variedad diferenciable de dimensión n y clase C^k. Si \mathcal{A} = \{ \Phi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I} y f: M \rightarrow N una aplicación biyectiva, entonces (N,\mathcal{A}_f) es una variedad diferenciable del mismo tipo, donde:

\mathcal{A}_f = \{ (\Phi_\alpha \circ f^{-1}): f(U_\alpha) \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I}.

Esta propiedad se cumple, en particular, cuando V es un espacio vectorial de dimensión n y base \{ u_1, \ldots, u_n\}, dado que existe un único isomorfismo lineal f: \mathbb{K}^n \rightarrow V determinado por f(e_i) = u_i, donde \{ e_1, \ldots, e_n\} es la base canónica de \mathbb{K}^n.

En resumen, sea M = End_{\mathbb{K}^n}(\mathbb{K}^n) el conjunto de endomorfismos de \mathbb{K}^n en \mathbb{K}^n, entonces es una variedad diferenciable por ser un espacio vectorial. Además, el grupo general lineal también lo es por ser un subconjunto abierto de M. Para los grupos ortogonales y unitarios necesitamos una proposición adional que permite construir grupos de Lie a partir de cocientes.

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En el post anterior hemos comentado algunos grupos topológicos, que veremos en posteriores entradas que están dotados de mas estructura (grupos de Lie), que son importantes para la física. Introducimos brevemente aquí el modelo estandar de la física de partículas. Concretamente, estaremos interesados en:

SU(3) \times SU(2) \times U(1),

que hace referencia a las simetrías del lagrangiano correspondiente.

Las partículas tienen masa, espín y carga como características principales.

En el modelo estandar tenemos:

  • 12 fermiones (o partículas de materia) con espín \frac{1}{2}: los 6 leptones (electrón e, muón \mu y tauón \tau con sus respectivos neutrinos \nu_e, \nu_\mu y \nu_\tau), y los 6 quarks (up u y down d, charm c y strange s, top t y bottom b).
  • 4 bosones (o partículas mediadoras de fuerzas) con espín 1: el fotón \gamma para la interacción electromagnética, cuyo grupo gauge es U(1); los bosones W^+, W^- y Z^0 para las interacciones nucleares débiles, con grupo SU(2); y los 8 gluones para la interacción nuclear fuerte, con grupo SU(3).

La siguiente imagen es un excelente resumen de todo lo escrito:

Standard_Model_of_Elementary_Particles-es

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