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Considerando las dos bases, holonómica y ortonormal, para el espacio tangente introducidas en este post:

\{ e_i \} = \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \},

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}\partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \},

tenemos que:

\hat{e}_1 = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}e_1, \hat{e}_2 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} e_2 y \hat{e}_3 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta e_3,

y, por tanto:

A_{\hat{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \end{array}  \right) i A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc}  \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} \sin \theta  \end{array}  \right).

Vamos a encontrar la expresión de las derivadas covariante en la base normalizada mediante cambios de base. Antes de empezar, dos consideraciones: en primer lugar, T^i y T^{\hat{i}} son tensores una vez contravariante, o lo que es lo mismo, son campos vectoriales. Por la linealidad de la conexión, podemos centrarnos en la derivada covariante de los elementos de la base. En segundo lugar, las derivadas parciales no afectan a los escalares, que están sobre la variedad y no en el espacio tangente.

Empezamos:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

\partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}}(\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} =

= -\frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

con lo que:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}}}.

Para:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

\partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta}) + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}} T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}}) + \frac{a}{a\bar{r} -\bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}} =

= \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = -\frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

tenemos:

\frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} \Leftrightarrow \boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}}}

Procediendo de la misma manera, obtenemos:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} - T^{\hat{\theta}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} + T^{\hat{\bar{r}}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} - \sin \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} - \cos \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} + \sin \theta T^{\hat{\bar{r}}} + \cos \theta T^{\hat{\theta}} }.

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Vamos a expresar las ecuaciones covariantes de la aproximación CFC en las coordenadas \bar{r}, \theta, \varphi a las que llamaremos esféricas compactificadas, puesto que son coordenadas esféricas donde la coordenada radial r la hemos cambiado por la coordenada \bar{r} cuyo dominio [0,1] es compacto:

r=\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}}.

Como teniamos:

\phi_1(r,\theta,\varphi) = r (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (r,\theta,\varphi) \in [0,+\infty[ \times [0,\pi] \times [0,2\pi],

y ahora tenemos:

\phi_2(\bar{r},\theta,\varphi) = (\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}},\theta,\varphi),

entonces:

\phi_1 \circ \phi_2 =: \phi(\bar{r},\theta,\varphi) = \frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}} (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (\bar{r},\theta,\varphi) \in [0,1] \times [0,\pi] \times [0,2\pi].

Ahora, llamando a nuestra función \phi en Mathematica obtenemos los coeficientes de Laplaciano, la métrica y los inversos de los coeficientes de Lamé :

esfericasCompactificadas.

El operador Laplaciano queda:

\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}\bar{r}} + \frac{2}{\bar{r}}\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta \theta} + \cot \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta} + \csc \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\varphi \varphi},

la métrica queda:

\frac{a^4}{(a-\bar{r})^4} d\bar{r} \otimes d\bar{r} + \frac{a^2 \bar{r}^2}{(a-\bar{r})^2} d\theta \otimes d\theta + \frac{a^2 \bar{r}^2 \sin^2 \theta}{(a-\bar{r})^2} d\varphi \otimes d\varphi,

en la base coordenada \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\} para la variedad tangente.

En este punto, y utilizando los coeficientes de Lamé, podemos construir una tetrada ortonormal con la que trabajaremos:

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{r}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_\theta, \csc \theta \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\varphi}\}.

Los símbolos de Christofel, calculados con nuestra función Mathematica, son:

ChristoffelEC,

\Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\bar{r} \bar{r}} = \frac{2}{a-\bar{r}},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\theta \theta}=\frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\varphi \varphi} = \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a}\sin^2 \theta,

\Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\bar{r} \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\theta \bar{r}} = \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\varphi\varphi} = -\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\bar{r}\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \bar{r}}= \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\theta\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\varphi \theta} = \cot \theta,

Por lo que las derivadas covariantes de un tensor una vez contravariante quedan, gracias a otra función que tenemos programada:

CDEC,

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta}

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\varphi} = \partial_{\bar{r}} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\bar{r}} = \partial_{\theta} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a} T^{\theta},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\theta} = \partial_{\theta} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\varphi} = \partial_{\theta} T^{\varphi} + \cot \theta T^{\varphi} ,

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\bar{r}} = \partial_{\varphi} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)\sin^2 \theta}{a} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\theta} = \partial_{\varphi} T^{\theta} - \sin \theta \cos \theta T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\varphi} = \partial_{\varphi} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}} + \cot \theta T^{\theta},

El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es:

\Delta u = \frac{\partial^2}{\partial x^2} u + \frac{\partial^2}{\partial y^2} u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u = \frac{\partial^2}{(\partial x^i)^2} u.

¿Qué pasa cuando queremos expresarlo en otro sistema de coordenadas curvilineas tal que

x=x(q^1,q^2,q^3) = x(q^i), y=y(q^i), z = z(q^i)

cualesquiera? Pues despues de un poco de trabajo, se puede llegar a la expresión:

\boxed{\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q^i} (\frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2} \frac{\partial}{\partial q^i} u)},

donde, si definimos el cambio de coordenadas

\boxed{\phi(q^i) := (x(q^i),y(q^i),z(q^i))},

tenemos que

\boxed{h_i = |\frac{\partial}{\partial q^i} \phi|}.

Para ver como funciona la formula, vamos a calcular el Laplaciano en coordenadas cilíndricas y en esféricas.

En el primer caso, tenemos que

\phi(r,\theta,z) = (r \cos \theta, r \sin \theta, z) con

r \in \mathbb{R}^+, \theta \in [0,2 \pi], z \in \mathbb{R},

por lo que tenemos

h_r = | \frac{\partial}{\partial r} \phi| = \sqrt{(\cos \theta, \sin \theta, 0) \cdot (\cos \theta, \sin \theta, 0)} = 1,

h_\theta = |\frac{\partial}{\partial \theta} \phi| = \sqrt{(-r \sin \theta, r \cos \theta, 0) \cdot (-r \sin \theta, r \cos \theta, 0)} = r,

h_z = |\frac{\partial}{\partial z} \phi| = \sqrt{(0,0,1) \cdot (0,0,1)} = 1.

y entonces, al aplicar nuestra fórmula, obtenemos:

\frac{1}{r} \bigg [ \frac{\partial}{\partial r} ( r \frac{\partial}{\partial r} u ) + \frac{\partial}{\partial \theta} ( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} u ) + \frac{\partial}{\partial z} ( r \frac{\partial}{\partial z} u ) \bigg ] =

= \frac{1}{r} (1 \frac{\partial}{\partial r} + r \frac{\partial^2}{\partial r^2}) u + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u =

= \boxed{\frac{\partial^2}{\partial r^2} u + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} u + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u}.

Ahora, en el caso de esféricas, tenemos:

\phi(r,\theta,\varphi) = (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) con

r \in \mathbb{R}^+, \theta \in [0,\pi] y \varphi \in [0,2\pi],

de manera que (el cuadrado hace referencia al producto escalar):

h_r = |\frac{\partial}{\partial r} \phi| = \sqrt{(\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)^2} =

= \sqrt{\sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + \cos^2 \theta} = 1

h_\theta = |\frac{\partial}{\partial \theta} \phi| = \sqrt{(r \cos \theta \cos \varphi, r \cos \theta \sin \varphi, - r \sin \theta)^2} =

= \sqrt{r^2 \cos^2 \theta \cos^2 \varphi + r^2 \cos^2 \theta \sin^2 \varphi + r^2 \sin^2 \theta} = r

h_\varphi = |\frac{\partial}{\partial \varphi} \phi| = \sqrt{(-r \sin \theta \sin \varphi,r \sin \theta \cos \varphi,0)^2} =

= \sqrt{r^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + r^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + 0} = r \sin \theta,

por lo que, con la fórmula, tenemos:

\frac{1}{r^2 \sin \theta} \bigg [ \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}u) + \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}u) + \frac{\partial}{\partial \varphi} (\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}u) \bigg ] =

= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \frac{\partial}{\partial r}u) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}u) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} u =

= \frac{1}{r^2}(2r \frac{\partial}{\partial r} + r^2 \frac{\partial^2}{\partial r^2})u + \frac{1}{r^2 \sin \theta}(\cos \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \sin \theta \frac{\partial^2}{\partial \theta^2})u + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}u =

=\boxed{ \frac{\partial^2}{\partial r^2}u + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}u + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}u + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta}u + \frac{\csc^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}u}

Laplaciano en cartesianas:

\Delta u = \Sigma_i \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u

1d

\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} = f_i

\frac{1}{h^2}u_{i-1} + \frac{1}{h^2}u_{i+1} +\frac{-2}{h^2}u_i= f_i

2d

\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h_x^2} + \frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{h_y^2} = f_{i,j}

i fijo:

\frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1} + \frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j})

j fijo:

\frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j} + \frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1})

3d

\frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2} = f_{i,j,k}

i,j fijos:

\frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k+1} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k})

i,k fijos:

\frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})

j,k fijos:

\frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})

El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura (-,+,+,+) tendríamos (c=1):

\square = -\partial_{tt} + \partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz} = -\partial_{tt} + \nabla,

que, numerando las variables, tenemos:

\square = \partial^\alpha \partial_\alpha = g^{\alpha \beta} \partial_\beta \partial_\alpha.

En n dimensiones, el operador Laplaciano queda como:

\Delta u= \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u

en coordenadas cartesianas, y como:

\Delta u = \frac{\partial}{\partial r^2}u + \frac{n-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}u + \frac{1}{r^2}\Delta_{S^{n-1}}u

en esféricas, donde \Delta_{S^{n-1}} es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la (n-1)-esfera (S^{n-1}), el operador Laplaciano esférico.

Un punto es un tensor sin índices, un vector es un tensor con 1 índice, una matriz es un tensor con 2 índices, etc. Cuando discreticemos una PDE en n dimensiones, llegaremos a un tensor con n índices y 2n tensores con n-1 índices para las condiciones en las fronteras.

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