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Acabo de descubrir, en esta entrada de Tao, unos vídeos sobre los medallistas Fields del 2014.

Añado también una imagen curiosa sobre los medallistas de la IMO del 1995, donde lograron medalla de oro tanto Mirzakhani (7) como Avila (24). También aparece con medalla de plata Ben J. Green (46):

imo1995

Finalmente, un software creado por Hairer para Mac.

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Pierre Deligne es el ganador del Premio Abel de este año 2013:

“for seminal contributions to algebraic geometry and for their transformative impact on number theory, representation theory, and related fields”

Dos de los blogs que sigo también se hacen eco de la noticia, el de Francisthemulenews y el de Gowers, que de hecho es el encargado oficial de presentar su trabajo al público general. El resumen oficial en español aquí.

El premio Abel es el Nobel de las matemáticas. Era extraño que no existiera un Nobel para esta disciplina fundamental. La Medalla Fields cubre esa ausencia, aunque busca premiar a jovenes talentos, no a matemáticos consagrados. De ahí el premio Abel, creado en el bicentenario del nacimiento del matemático noruego Niels Henrik Abel el año 2002 y otorgado por la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras de Noruega, con una dotación económica de 750000 euros similar a la del Nobel.

La geometría algebraica trata de los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variable. Al igual que el conjunto de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales en una variable determinan una variedad lineal (puntos, rectas, planos, etc.), las soluciones de los sistemas de ecuaciones polinómicas no lineales determinan variedades algebraicas.

Andre Weil hizo grandes aportaciones a la geometría algebraica, desarrollando todo un lenguaje y una fundamentación para la misma. En un momento propuso cuatro afirmaciones que no pudo demostrar, conocidas a partir de entonces como las Conjeturas de Weil, siendo la última la mas dificil y la mas profunda. Son las siguientes:

Sea Z(x) la función zeta asociada a un sistema de ecuaciones polinómicas de grado n y sea q un primo. Entonces:

  1. Z(x) puede escribirse de la forma \frac{P(x)}{Q(x)} para dos polinomios P y Q con coeficientes enteros.
  2. Concretamente, existe una fórmula de la forma Z(x)=\frac{P_1(x) P_3(x) \ldots P_{2n-1}(x)}{P_0(x) P_2(x) \ldots P_{2n}(x)} donde cada P_i tiene coeficientes enteros y los reciprocos de las raices de P_i son enteros algebraicos y las raices tienen módulo q^{\frac{-i}{2}}.
  3. La función z \mapsto 1/q^n z intercambia las raices de P_i con las de P_{2n-1}.
  4. Bajo condiciones apropiadas, el grado de P_i es igual al i-ésimo Número de Betti del conjunto determinado por el sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes sobre \mathbb{C}.

Alexander Grothendieck es el siguiente personaje importante en el area, pues reescribió la geometría algebraica subsumiendo el concepto de variedad algebraica en el de esquema, entendiendo que cualquier anillo conmutativo puede ser un objeto geométrico, dotando de esta manera, de un nuevo lenguaje y una fundamentación, mucho mas potente que la de Weil, para la geometría algebraica.

A pesar de su abstracción, o precisamente por ella, esta última visión es la que ha permanecido, pues permite conectar dos mundos, el de la geometría algebraica y el de la álgebra conmutativa. Fué gracias a ella que Grothendieck pudo demostrar la ecuación funcional y tenía ideas, demostrar las conjeturas estandar, para abordar la última conjetura.

Es aquí cuando entra en escena Pierre Deligne, discípulo aventajado de Grothendieck. que la demostró pero sin seguir el guión propuesto por Grothendieck, es decir, sin demostrar las conjeturas estandar (de hecho hay gente que piensa que fue capaz de demostrarla porque era el único que realmente comprendía toda la reformulación de su maestro).

Yo no entiendo mucho, y Gowers dice que tampoco, aunque muchísimo mas que yo, por supuesto. pero la demostración dicen que es asombrosa, pues utiliza muchos resultados muy profundos y complidos del area, en palabras del propio Gowers:

  • A theorem of Kazhdan and Margulis about monodromy groups of Lefschetz pencils.
  • A method of Rankin for estimating Ramanujan’s tau function.
  • A cohomology theory of Grothendieck for certain L-functions.
  • The classical invariant theory of the symplectic group.
  • A Leray spectral sequence argument.
  • The “tensor-power trick”

De hecho, esta demostración ya le valió en su momento la medalla Fields. En fin, casi nada… Nuestra felicitación a Pierre Deligne.

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