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Calcularemos el tensor de Riemann, el de Ricci y la curvatura escalar para la métrica de Kerr correspondiente a un agujero negro en rotación y sin carga eléctrica (J \neq 0, Q=0), cuya métrica ya utilizamos.

A continuación, mostramos nuestras funciones para realizar los calculos automáticamente:

tensor de Riemann:

riemanNd

tensor de Ricci:

ricciNd

curvatura escalar:

rNd

y obtenemos (solo escribiremos una elemento de cada debido a su complejidad):

R^{t}_{tt\varphi}:

tRiemann_rtttvp

donde x1=t, x2=r, x3=\theta, x4=\varphi.

R_{r\theta}:

tRicci_rth

y dos gráficas correspondientes a su curvatura escalar R:

curvaturaEscalar3D2

curvaturaEscalar3D

En la definición de la métrica, tenemos la restricción 0 \leq \frac{a}{M} \leq 1, que en nuestro caso, como imponemos M=1, nos queda 0 \leq J \leq 1. A continuación una serie de gráficos en los que hacemos el valor de

J=0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 1:

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Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica (J \neq 0 y Q = 0). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

g = - (1-\frac{2Mr}{\Sigma})dt \otimes dt - \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}dt \tilde{\otimes} d\varphi +

+ \frac{\Sigma}{\Delta}dr \otimes dr + \Sigma d\theta \otimes d\theta + (r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta}{\Sigma})sin^2\theta d\varphi \otimes d\varphi

donde a:=\frac{J}{M}, \Delta:= r^2 - 2Mr + a^2 y \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \theta. El agujero negro está rotando en la dirección +\varphi y el espín está restringido al rango 0 \leq \frac{a}{M} \leq 1. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando a=0.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en 4 dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

\left(  \begin{array}{cccc}  -1+\frac{2 M \text{x2}}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} \\  0 & \frac{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}}{\frac{J^2}{M^2}-2 M \text{x2}+\text{x2}^2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & \text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2} & 0 \\  -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & \text{Sin}[\text{x3}]^2 \left(\frac{J^2}{M^2}+\text{x2}^2+\frac{2 J^2 \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{M \left(\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}\right)}\right)  \end{array}  \right)

y en un momento obtenemos:

\Gamma^{1}_{\alpha \beta}:

Gamma1

\Gamma^2_{\alpha \beta}:

Gamma2

\Gamma^3_{\alpha \beta}:

Gamma3

\Gamma^4_{\alpha \beta}:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

\frac{d^2}{dt^2}x^i + \Gamma^i_{jk} \frac{d}{dt}x^j \frac{d}{dt}x^k = 0.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases} \ddot{t} + \ldots = 0 \\ \ddot{r} + \ldots = 0 \\ \ddot{\theta} + \ldots = 0 \\ \ddot{\varphi} + \ldots = 0 \end{cases}

donde, por ejemplo, para \theta tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

\ddot{\theta} -

- \frac{J^2 M^5 r \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t}^2 + \frac{J^2 M^2 \text{Sin}[\theta]}{2 \left(J^2+M^2 r (-2 M+r)\right) \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)} \dot{r}^2 - \frac{J^2 \text{Sin}[\theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 \text{Cos}[\theta]} \dot{\theta}^2 -

-\frac{\left(J^2+M^2 r^2\right) \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^2 \text{Sin}[\theta]+4 J^2 M^3 r \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right) \text{Sin}[\theta]^3+J^4 M^3 r \text{Sin}[\theta]^5}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{\varphi}^2 +

+ \frac{J M^4 r \left(4 M^2 r^2 \text{Cos}[\theta]+J^2 (3+\text{Cos}[2 \theta])\right) \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t} \dot{\varphi} + \frac{r}{r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta]}{M^2}} \dot{r} \dot{\theta} = 0

Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis “Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues” de I. Cordero podemos encontrarlas.

Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos lleva a la métrica de Schwarzschild (J=0, Q=0) que podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Schwarzschild (r,\theta,\varphi,\tau) con r > 2M y siendo \tau el tiempo propio:

g = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr \otimes dr + r^2 (d\theta \otimes d\theta + \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi)-(1-\frac{2M}{r})d\tau \otimes d\tau

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} \frac{1}{1-\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

y en física se suele escribir:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)-(1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Además, como d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2 es la métrica de S^2 (S^2(\theta,\varphi) = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) en ]0,\pi[ \times ]0,2\pi[ de manera que g_{11} = S^2_\theta \cdot S^2_\theta = 1, g_{12} = g_{21} = S^2_\theta \cdot S^2_\varphi = 0 y g_{22} = S^2_\varphi \cdot S^2_\varphi = \sin^2 \theta, con lo que g = d\theta \otimes d\theta + sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi), tenemos:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 d\Omega^2 - (1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Coordenadas isotrópicas (\bar{r},\theta,\varphi,\tau) con r = \bar{r} (1 + \frac{M}{2\bar{r}})^2 respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = (1+\frac{M}{2\bar{r}})^4(d\bar{r}^2+ \bar{r}^2 d\Omega^2 )- \big (\frac{1-\frac{M}{2\bar{r}}}{1+\frac{M}{2\bar{r}}} \big) d\tau^2

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo propio constante son conformemente planas y singulares en el horizonte.

Coordenadas de Painlevé-Gullstrand-Lemaître (r,\theta,\varphi, T) con dT = d\tau + \frac{\sqrt{\frac{2M}{r}}}{1-\frac{2M}{r}}dr respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2 + 2 \sqrt{\frac{2M}{r}}dTdr - (1-\frac{2M}{r})dT^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{2M}{r}} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \sqrt{\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Coordenadas de Eddington-Finkelstein (t, r, \theta, \varphi) con t = \tau + 2M \ln |\frac{r}{2M} - 1| respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = \frac{1}{1+\frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 d\Omega^2 + \frac{4M}{r} dtdr - (1-\frac{2M}{r})dt^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1+\frac{2M}{r} & 0 & 0 & \frac{2M}{r} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \frac{2M}{r} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo constante son planas y regulares en el horizonte.

En el llibre “Geometria diferencial i relativitat” de J. Girbau tambe comenta les coordenadas de Kruskal-Szekeres (u,v,\theta,\varphi):

ds^2 = \frac{32M^3}{r} e^{-\frac{r}{2M}} (du^2 - dv^2) + r^2 d\Omega^2

donde

u=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \cosh \frac{\tau}{4M}

y

v=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \sinh \frac{\tau}{4M}

No hay singularidad física en r=2M, pero hay dos en r=0.

En segundo lugar, tenemos la métrica de Kerr (J \neq 0, Q = 0) que también podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Boyer-Lindquist (r,\theta,\varphi,t):

ds^2 = \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \tilde{w}^2(d\varphi - wdt)^2 - (\frac{\rho \sqrt{\Delta}}{\Sigma})^2dt^2

donde

\Delta = r^2 -2Mr + a^2

\rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2 \theta

\Sigma^2 = (r^2 + a^2)^2 - a^2 \Delta \sin^2 \theta

w = \frac{2aMr}{\Sigma^2}

\tilde{w} = \frac{\Sigma \sin \theta}{\rho}

y siendo a el momento angular del BH. Fijando a=0 obtenemos el BH de Schwarzchild en coordenadas de Schwarzchild.

Coordenadas de Kerr-Schild (r,\theta,\bar{\varphi},\bar{t}):

ds^2 = \frac{Z^{2k}-1}{Z-1} dr^2 + \rho^2 d\theta^2+ \sin^2 \theta \rho^2 [1+Y(1+Z)] d\bar{\varphi}^2 - (1-Z) d\bar{t}^2+

+2a\epsilon \sin^2 \theta \frac{Z^{k+1}-1}{Z-1}drd\bar{\varphi} -2 \epsilon Z^k dr d\bar{t} -2 a \sin^2 \theta Z d\bar{\varphi}d\bar{t}

donde

Y = \frac{a^2 \sin^2 \theta}{\rho^2}, Z = \frac{2Mr}{\rho^2}

y \epsilon = +1(-1) regulariza el horizonte futuro (pasado) del BH. La relación con las anteriores coordenadas viene dada por

d\bar{\varphi} = d\varphi - \epsilon \frac{a}{\Delta} dr

d\bar{t} = dt - \epsilon [ \frac{1+Y}{1+Y-Z} - \frac{1-Z^k}{1-Z} ] dr

donde \Delta es la función horizonte, que es cero en el horizonte y hace que la componente g_{tt} de la métrica se anule.

diciembre 2017
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