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El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura (-,+,+,+) tendríamos (c=1):

\square = -\partial_{tt} + \partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz} = -\partial_{tt} + \nabla,

que, numerando las variables, tenemos:

\square = \partial^\alpha \partial_\alpha = g^{\alpha \beta} \partial_\beta \partial_\alpha.

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En su Lecture I nos habla de vectores, 1-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un espacio vectorial normado con una norma procedente de un producto escalar).

Por ejemplo, dada una curva \alpha(t) \in \mathbb{R}^3, siendo t un parámetro, el tiempo absoluto Newtoniano, podemos definir su vector velocidad como:

\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}(t) = \frac{d}{dt} \alpha(t) = \frac{d}{dt}\alpha (= \alpha_t).

O, en relatividad, \beta(\tau) \in \mathbb{M}^4, con \tau el tiempo propio:

\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}(\tau) = \frac{d}{d\tau} \beta(\tau) = \frac{d}{d\tau}\beta (= \beta_\tau).

Al introducir los espacio vectoriales, podemos sumar/restar vectores entre si, multiplicarlos por un escalar y disponemos de los conceptos de bases (conjuntos de vectores linealmente independientes que forman un sistema generador)  y coordenadas. Sean \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} y \{ \boldsymbol{e}_0, \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} las bases de \mathbb{R}^3 y \mathbb{M}^4 respectivamente. Entonces podemos escribir, por ejemplo:

\boldsymbol{v} = v^0 \boldsymbol{e}_0 + v^1 \boldsymbol{e}_1 + v^2 \boldsymbol{e}_2 + v^3 \boldsymbol{e}_3 = \sum_\alpha v^\alpha \boldsymbol{e}_\alpha = v^\alpha \boldsymbol{e}_\alpha = v^0 \boldsymbol{e}_0 + v^i \boldsymbol{e}_i.

Aunque muchas veces no se escriba explicitamente, tener en cuenta que las coordenadas pueden ser, como en el ejemplo anterior, funciones:

v(\tau) = v^\alpha (\tau) \boldsymbol{e}_\alpha.

Para cambiar de un sistema de coordenadas \{ \boldsymbol{e}_\alpha \} a otro \{ \boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}} \} basta expresar los vectores de una base  en la otra:

\boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}} = \sum_\alpha A^\alpha_{\tilde{\alpha}} \boldsymbol{e}_{\alpha} = A^\alpha_{\tilde{\alpha}} \boldsymbol{e}_{\alpha},

\boldsymbol{e}_{\alpha} = \sum_{\tilde{\alpha}} B_\alpha^{\tilde{\alpha}} \boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}} = B_\alpha^{\tilde{\alpha}} \boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}},

donde B_\alpha^{\tilde{\alpha}} = (A^{-1})_\alpha^{\tilde{\alpha}}, de manera que si \boldsymbol{v} = v^{\alpha} \boldsymbol{e}_\alpha entonces:

\boldsymbol{v} = v^\alpha \boldsymbol{e}_\alpha = v^\alpha B^{\tilde{\alpha}}_{\alpha} \boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}} = v^\alpha (A^{-1})^{\tilde{\alpha}}_{\alpha} \boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}} = v^{\tilde{\alpha}} \boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}}

con:

v^{\tilde{\alpha}} = v^{\alpha}(A^{-1})^{\tilde{\alpha}}_{\alpha} = (A^{-1})^{\tilde{\alpha}}_{\alpha} v^{\alpha}.

Como ya hemos comentado, disponemos de un producto escalar \cdot y podemos definir una norma

|\boldsymbol{u}|^2 = \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}.

Volviendo a la idea de que tenemos una base \{ e_{\alpha}\}, entonces basta determinar el comportamiento del producto escalar respecto de los elementos de la base:

\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = u^{\alpha} \boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot v^{\beta} \boldsymbol{e}_{\beta} =

\bigg( = \sum_{\alpha} u^{\alpha} \boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot \sum_{\beta} v^{\beta} \boldsymbol{e}_{\beta} = \sum_{\alpha} \sum_{\beta} u^{\alpha} \boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot v^{\beta} \boldsymbol{e}_{\beta} =

= \sum_{\alpha} \sum_{\beta} u^{\alpha} v^{\beta} (\boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot \boldsymbol{e}_{\beta} ) = \sum_{\alpha} \sum_{\beta} (\boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot \boldsymbol{e}_{\beta} ) u^{\alpha} v^{\beta} = \bigg)

= g_{\alpha \beta} u^{\alpha} v^{\beta}

La conmutatividad del producto escalar nos lleva a que g_{\alpha \beta} = g_{\beta \alpha} y un cambio de coordenadas de g_{\alpha \beta} a nuevas coordenadas tilde queda:

g_{\tilde{\alpha} \tilde{\beta}} = \boldsymbol{e}_{\tilde{\alpha}} \cdot \boldsymbol{e}_{\tilde{\beta}} = A^{\alpha}_{\tilde{\alpha}} \boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot A^{\beta}_{\tilde{\beta}} \boldsymbol{e}_b = A^{\alpha}_{\tilde{\alpha}} A^{\beta}_{\tilde{\beta}} \boldsymbol{e}_{\alpha} \cdot \boldsymbol{e}_{\beta} = A^{\alpha}_{\tilde{\alpha}} A^{\beta}_{\tilde{\beta}} g_{\alpha \beta}

Podemos definir el producto escalar como:

g(u,v) := u \cdot v

que es una 2-forma, g:T_pM \times T_pM \longrightarrow \mathbb{K} , o un tensor dos veces covariante, ya hablaremos.

En el caso particular de \mathbb{R}^3  tenemos:

g_{i j} = \delta_{i j} := \left(  \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1  \end{array}  \right)

donde, si tenemos \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}^i = (u^1, u^2, u^3)^T en la base \{ \boldsymbol{e}_i\}:

|\boldsymbol{u}|^2 = \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} = \delta(\boldsymbol{u},\boldsymbol{u}) = \delta_{ij} u^i u^j = (\sum_i \sum_j \delta_{ij} u^i u^j) = u_j u^j =

= (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2.

que es siempre positiva para todos los vectores salvo para el \boldsymbol{0}. Nos ha aparecido en el cálculo, al multiplicar la matriz de la métrica por el primer vector, el mismo vector pero ahora como 1-forma: u_i = (u^1, u^2, u^3), en la base {\boldsymbol{e}^i}. Además, hemos visto como la métrica nos a permitido bajar un índice. Ya volveremos sobre esto.

y en \mathbb{M}^4:

g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta} := \left(  \begin{array}{cccc}  -1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1  \end{array}  \right).

En este caso, \eta_{\alpha \beta} u^\alpha u^{\beta} = -(u^0)^2 + (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2, dado lugar a tres clases de vectores en función del valor de su norma: espaciales, con norma positiva, temporales, con norma negativa y luminosos, con norma 0.

Para terminar, nos habla de las 1-formas, que nos son mas que operadores lineales \tilde{\boldsymbol{k}} que a partir de un vector \boldsymbol{v} nos devuelve un escalar \phi:

\phi = \langle \tilde{\boldsymbol{k}}, \boldsymbol{v} \rangle.

Desde el punto de vista del espacio vectorial V, las 1-formas son elementos del espacio dual V^* (elementos del tipo \boldsymbol{\tilde{k}}: V \longrightarrow \mathbb{K}). Si volvemos a mirar componentes, la acción de la 1-forma queda totalmente determinada, debido a la linealidad, por su acción sobre los elementos de la base \{ \boldsymbol{e}_\alpha\}:

\tilde{k_{\alpha}} = \langle \boldsymbol{\tilde{k}}, \boldsymbol{e}_{\alpha} \rangle

de manera que si \boldsymbol{v} = v^{\alpha} \boldsymbol{e}_{\alpha} tenemos:

\langle \boldsymbol{\tilde{k}}, \boldsymbol{v} \rangle = \langle \boldsymbol{\tilde{k}}, v^{\alpha}\boldsymbol{e}_{\alpha} \rangle = \langle \boldsymbol{\tilde{k}}, \boldsymbol{e}_{\alpha} \rangle v^{\alpha} = \tilde{k_{\alpha}}v^{\alpha}.

Por tanto,

Como tenemos una métrica, podemos relacionar cualquier vector \boldsymbol{k} con una 1-forma \boldsymbol{\tilde{k}} de manera que:

\langle \boldsymbol{\tilde{k}}, \boldsymbol{v} \rangle = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{v}

es decir, que dado \boldsymbol{k} \in V entonces le asociamos \boldsymbol{\tilde{k}} \in V^*:

\boldsymbol{\tilde{k}}: V \longrightarrow \mathbb{K} \,/\, v \mapsto \boldsymbol{\tilde{k}}(v) = \langle \boldsymbol{\tilde{k}}, \boldsymbol{v} \rangle = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{v}

¿Y cuales son sus componentes \tilde{k}_{\alpha}? Sencillamente:

\tilde{k}_{\alpha} = \langle \boldsymbol{\tilde{k}}, \boldsymbol{e}_{\alpha} \rangle = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{e}_{\alpha} = k^{\beta} \boldsymbol{e}_{\beta} \cdot \boldsymbol{e}_{\alpha} = g_{\alpha \beta} k^{\beta}.

De la misma manera:

k^{\alpha} = g^{\alpha \beta} \tilde{k}_{\beta}, donde g^{\alpha \beta} es la inversa de g_{\alpha \beta} (g^{\alpha \beta}g_{\beta \gamma} = \delta^{\alpha}_{\gamma}).

Finalmente, se puede demostrar que g^{\alpha \beta} \tilde{k}_{\alpha} \tilde{l}_{\beta} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{l}.

noviembre 2017
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