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En [Monaghan 1992] comenta el caso del método SPH en relatividad especial.

Para empezar asumimos que el fluido está constituido por bariones, por lo que el tensor de energia-momento es:

T^{\mu \nu} = (n m_0 c^2 + n \tau + P) U^\mu U^\nu + P g^{\mu \nu}

donde los indices griegos van de 0 a 3 y los coeficientes de la métrica se definen

g_{00} = -1 y g_{ij} = 1

En estas ecuaciones, n representa la densidad de bariones, P es la presión, \tau la energía térmica, c la velocidad del sonido, U^\nu la 4-velocidad con U_\nu U^\nu = -1 y m_0 la masa.

Las ecuaciones del momento se siguen de:

\frac{\partial}{\partial x^\nu} T^{i \nu} = 0

que es:

\frac{d}{dt} q = - \frac{1}{N} \nabla P

y en forma SPH queda:

\frac{d}{dt}q_a = -\sum_b \nu_b (\frac{P_a}{n_a^2} + \frac{P_b}{N_b^2}) \nabla_a W_{ab}

donde \nu_b es el número de bariones asociados a la partícula b.

Y la de la energía se sigue de:

\frac{\partial}{\partial x^j} T^{0j} = 0

que es:

\frac{d}{dt} \epsilon = - \frac{1}{N} \nabla \cdot (Pv)

y en foma SPH queda:

\frac{d}{dt} \epsilon_a = -\sum_b m_b (\frac{P_a v_a}{N_a^2} + \frac{P_b v_b}{N_b^2}) \nabla W_{ab}

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Existen diferentes posibilidades a la hora de definir una función kernel:

  1. Gaussiana [Gingold & Monaghan, 1977]:W(r,h) = \alpha_D \cdot e^{-q^2} con 0 \leq q \leq 2 donde q=\frac{r}{h}, r es la distancia entre dos partículas determinadas y \alpha_D, el factor dimensional, que es \frac{1}{\pi h^2} en dos dimensiones y \frac{1}{\pi^{\frac{3}{2}} h^3} en tres.
  2. Cuadrática [Gingold & Monaghan, 1977]: \alpha_D (\frac{3}{16} q^2 - \frac{3}{4} q + \frac{3}{4}) con 0 \leq q \leq 2 y donde \alpha_D es \frac{2}{\pi h^2} en 2D y \frac{5}{4 \pi h^3} en 3D.
  3. B-spline cúbico [Monaghan & Lattancio, 1985]W(r,h) = \alpha_D \begin{cases} 1 - \frac{3}{2} q^2 + \frac{3}{4} q^3 ,& \mbox{if } 0 \leq q \leq 1 \\ \frac{1}{4}(2-q)^3 ,& \mbox{if } 1 < q \leq 2 \\ 0 ,& \mbox{if } q > 2\end{cases} con \alpha_D = \frac{10}{7 \pi h^2} en dos dimensiones y \frac{1}{\pi h^3} en 3 dimensiones.
  4. Quíntica: W(r,h) = \alpha_D (1-\frac{q}{2}^4)(2q + 1) con 0 \leq q \leq 2 y \alpha_D = \frac{7}{4 \pi h^2} en 2D y \frac{7}{8 \pi h^3} en 3D.

Pensando en posibles implementaciones, parece lógico utilizar una classe abstracta Kernel de la que heredaran las anteriores implementando sus métodos, de manera que, las posibles clases que llamen a la misma puedan hacerlo siempre de la misma manera independientement de cual estemos utilizando.

En el artíclo [Gingold & Monaghan, 1977] se introducen

La función kernel, W(\vec{r}-\vec{r'},h), es una función que permite interpolar los valores de cualquier propiedad del fluido en función del valor de las partículas del entorno. Su papel es similar al de los diferentes esquemas de diferencias en el ámbito de las Diferencias Finitas o las funciones de forma en los Elementos Finitos.

Existen diferentes funciones kernel: Gaussiana, cuadrática, spline cúbico, quíntica, etc.

La función kernel debe cumplir:

  1. Positiva: W(r-r',h) \geq 0 dentro del dominio.
  2. Soporte compacto: W(r-r',h) = 0 fuera del dominio.
  3. Normalizada: \int W(r-r',h) dr' = 1.
  4. Comportamiento de función delta: \lim_{h \rightarrow 0} W(r-r',h) dr' = \delta(r-r').
  5. Monotona decreciente.

Para derivar, tomamos la derivada analítica de la suma aproximada. De esta manera, como la derivada de la función kernel es conocida, no necesitamos diferencias finitas y el conjunto de ecuaciones PDE pasa a ser ODE.

\nabla f(\vec{r}) = \sum_b \frac{m_b}{\rho_b} f_b W(\vec{r}-\vec{r'},h)

En el artículo  [Gingold & Monaghan, 1977] se presenta por primera vez el método Smoothed Particle Hydrodynamics. Los autores, originalmente, buscaban un método que permitiera tratar problemas en astrofísica asimétricos (sin simetría esférica, sin simetría axial, etc.) . En estos casos, los métodos de diferencias finitas no se adaptan bien, pues requieren elevar el número de puntos en la malla para seguir con la precisión deseada su evolución, lo cual complica enormemente la evolución de las integrales múltiples.

Lo que pensaron es utilizar la descripción Lagrangiana del flujo del fluido que centra su atención en los elementos del fluido. En la discretización, estos elementos se mueven siguiendo las leyes de Newton con fuerzas debidas a los gradientes de presión y a otras fuerzas de cuerpo como la gravedad, rotación o magnéticas. ¿Qué método utilizar para determinar las fuerzas que actuan en un momento determinado sobre un elemento de fluido?

Para empezar, para elementos de fluido de igual masa, el número de elementos por unidad de volumen debe ser proporcional a la densidad. Además, sin ningún tipo especial de simetría, la posicion de los elementos será aleatoria de acuerdo con la densidad. Para recuperar la densidad de la distribución conocida de los elementos es equivalente a recuperar una distribución de probabilidad a partir de una muestra. Existen dos métodos para conseguir esto que funcionan bien con problemas de fluidos: el smoothing kernel method y  la técnica del spline delta. Ambos métodos se pueden pensar como la aproximación de una integral por el procedimiento de Monte Carlo.

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