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En la Lecture III del curso sobre GR de C. Hirata nos comenta, por una parte, operaciones sobre tensores, y por otra, electrodinámica en relatividad especial.

La primera operación que define es el producto tensorial. Dados dos tensores A y B de tipo \binom{m}{n} y \binom{p}{q} respectivamente, podemos construir un nuevo tensor A \otimes B de tipo \binom{m+p}{n+q} haciendo:

(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})(\boldsymbol{\tilde{k}},\ldots,\boldsymbol{u},\boldsymbol{\tilde{l}},\ldots,\boldsymbol{v}):=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\tilde{k}}\ldots\boldsymbol{u})\boldsymbol{B}(\boldsymbol{\tilde{l}},\ldots,\boldsymbol{v})

que en components queda:

(A \otimes B)^{\alpha_1 \ldots \alpha_m\,\,\gamma_1 \ldots \gamma_p}_{\beta_1 \ldots \beta_n \,\, \delta_1 \ldots \delta_q} = A^{ \alpha_1 \ldots \alpha_m}_{\beta_1 \ldots \beta_n} B^{\gamma_1 \ldots \gamma_p}_{\delta_1 \ldots \delta_q}

Comenta la idea intuitiva que lo que estamos haciendo es la generalización  a tensores de rango arbitrario del hecho de construir la matriz \boldsymbol{u}\boldsymbol{v^T} a partir de los dos vectores (columna, siempre columna los vectores…) \boldsymbol{u} y \boldsymbol{v}.

Ya comentamos que:

\boldsymbol{d}f(\boldsymbol{v}) = \frac{d}{dt}(\boldsymbol{x}(t) \circ f)|_{t=0}.

Podemos generalizarlo para un tensor \boldsymbol{T} de rango cualquiera. Por ejemplo, con rango \binom{1}{1} tendriamos T^{\alpha}_{\beta} y:

(\boldsymbol{\nabla T}

Contracción de un tensor

Transposición de un tensor

Simetrización y antisimetrización de un tensor

Producto exterior

Tensor de volumen

Derivada exterior

Con respecto a la parte de electrodinámica, empezamos con la fuerza de Lorentz clásica, que es la fuerza que experiementa una particula de masa m y carga e sometida a un cambo electromagnético:

m \frac{d}{dt} \boldsymbol{v} = e( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} ).

Para su generalización en SR necesitamos, por una parte, que la ecuación sea invariante Lorentz, y por otra, pensar como se generaliza el producto vectorial. La opción mas simple y que funciona es, pensando en 4-aceleraciones, el campo electromagnético y las 4-velocidades, la siguiente:

\frac{d}{d\tau}p^{\alpha} = m^{\alpha} = e F^{\alpha}_{\beta} u^{\beta}

Tenemos ahora 16 ecuaciones mientras que, hasta ahora, teniamos 6: 3 para el campo eléctrico y 3 para el campo magnético.

Ecuaciones de Maxwell

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Ya hemos comentado que podemos ver un campo tensorial diferenciable como una generalización de funciones, campos vectoriales y 1-formas. Estudiaremos ahora el caso de las métricas.

Como comentamos en un post anterior, una métrica de Riemann:

g_m: T_mM \times T_mM \longrightarrow \mathbb{R}

podemos verla como un campo tensorial dos veces covariante, de tipo (0,2). Efectivamente, ya que en cada m \in M tenemos definido:

g_m \in \mathcal{L}(T_mM \times T_mM, \mathbb{R}) \cong \otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M.

Por lo tanto, tenemos que g: M \longrightarrow T^{(0,2)}M define una métrica sobre la variedad M.

Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild (r,\theta,\varphi,\tau) es:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)-(1-\frac{2M}{r})d\tau^2

que en notación de productos tensoriales queda:

g = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr \otimes dr + r^2 (d\theta \otimes d\theta + \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi)-(1-\frac{2M}{r})d\tau \otimes d\tau

Acabamos de ver que g_m \in \mathcal{L}(T_mM \times T_mM, \mathbb{R}). En nuestro caso, una base de T_mM es:

\{ \frac{\partial}{\partial r}|_m, \frac{\partial}{\partial \theta}|_m, \frac{\partial}{\partial \varphi}|_m, \frac{\partial}{\partial \tau}|_m\}

por lo que \dim T_mM = 4 y su base dual:

\{ dr_m, d\theta_m, d\varphi_m, d\tau_m \}

es una base de T_m^*M con \dim T_m^*M = 4. Como:

\mathcal{L}(T_mM \times T_mM, \mathbb{R}) \cong \otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M

tenemos que:

\dim T_m^*M \otimes T_m^*M = \dim T_m^*M \cdot \dim T_m^*M = 4 \cdot 4 = 16

y una base de T_m^*M \otimes T_m^*M es:

\{ dr_m \otimes dr_m, dr_m \otimes d\theta_m, dr_m \otimes d\varphi_m, dr_m \otimes d\tau_m,

d\theta_m \otimes dr_m, d\theta_m \otimes d\theta_m, d\theta_m \otimes d\varphi_m, d\theta_m \otimes d\tau_m,

d\varphi_m \otimes dr_m, d\varphi_m \otimes d\theta_m, d\varphi_m \otimes d\varphi_m, d\varphi_m \otimes d\tau_m,

d\tau_m \otimes dr_m, d\tau_m \otimes d\theta_m, d\tau_m \otimes d\varphi_m, d\tau_m \otimes d\tau_m \}

Las componentes de nuestra métrica en esta base son:

g_{11} = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}, g_{22} = r^2, g_{33} = r^2 \sin^2 \theta, g_{44} = -(1-\frac{2M}{r}) y g_{ij} = 0 si i \neq j.

En general, dada una variedad M de dimensión \dim M = n y un punto m \in M, entonces \dim T_mM = \dim T_m^*M = n y \dim T_m^*M \otimes T_m^*M = n^2, por lo que g_m \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

Si llamamos x^1 a la coordenada r, x^2 a la coordenada \theta, x^3 a la coordenada \varphi y x^4 a la coordenada \tau, entonces podemos referirnos a la métrica g de una forma mas compacta:

g = \sum_{\alpha,\beta=1}^4 g_{\alpha\beta}dx^\alpha \otimes dx^\beta

que en física y siguiendo el convenio de suma de Einstein, con índices griegos variando de 1 a 4 y indices latinos haciendolo entre 1 y 3, queda:

g_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta

Si calculamos la inversa de la matriz g_{\alpha \gamma}g^{\gamma \beta} = \delta_\alpha^\beta obtenemos las componentes contravariantes de la métrica:

g = \sum_{\alpha,\beta=1}^4 g^{\alpha \beta} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \otimes \frac{\partial}{\partial x^\beta} \equiv g^{\alpha \beta} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \frac{\partial}{\partial \beta}

que en el caso que nos ocupa son:

g^{11} = 1-\frac{2M}{r} , g^{22}= \frac{1}{r^2}, g^{33}=\frac{\csc \theta}{r^2} y g^{44}=-\frac{1}{1-\frac{2M}{r}}

por lo que nos queda:

g= 1-\frac{2M}{r} \frac{\partial}{\partial r} \otimes \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \otimes \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\csc \theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \varphi} \otimes \frac{\partial}{\partial \varphi} -\frac{1}{1-\frac{2M}{r}}\frac{\partial}{\partial \tau} \otimes \frac{\partial}{\partial \tau}

que también puede escribirse:

g= 1-\frac{2M}{r} \partial_r^2 + \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2 + \frac{\csc \theta}{r^2} \partial_\varphi^2 -\frac{1}{1-\frac{2M}{r}} \partial_\tau^2

Sean V_1, \cdots, V_r espacios vectoriales de dimensión finita sobre \mathbb{R} y sean V_1^*, \cdots, V_r^* sus espacios duales.

Definimos el producto tensorial como el espacio vectorial de aplicaciones multilineales de V_1^* \times \ldots \times V_r^* en \mathbb{R}, es decir:

V_1 \otimes \ldots \otimes V_r := \mathcal{L}(V_1^* \times \ldots \times V_r^*, \mathbb{R})

Si v_1 \in V_1, \ldots , v_r \in V_r y \sigma_1 \in V_1^*, \ldots, \sigma_r \in V_r^*, entonces definimos v_1 \otimes , \ldots , \otimes v_r \in V_1 \otimes , \ldots , \otimes V_r como:

v_1 \otimes \ldots \otimes v_r (\sigma_1, \ldots, \sigma_r)= \sigma_1(v_1) \ldots \sigma_r(v_r)

Si \dim V_j = n_j y sea \{ e_i^j\}_{i=1}^{n_j} una base de V_j con j=1,\ldots,r, entonces:

\{e_{i_1}^1 \otimes \ldots \otimes e_{i_r}^r \}_{1 \leq i_j \leq n_j, 1 \leq j \leq r }

es una base de V_1 \otimes \ldots \otimes V_r, de manera que \dim V_1 \otimes \ldots \otimes V_r = n_1\ldots n_r.

Sea V un espacio vectorial de dimensión \dim V = n y V^* su dual. Construimos el espacio vectorial

V^{(r,s)}:=(\otimes^r V) \otimes (\otimes^s V^*)

donde \otimes^k E:= E \otimes \overset{k)}{\ldots} \otimes E es la késima potencia tensorial de E. A los elementos de V^{(r,s)} se les llama tensores r veces contravariantes y s veces covariantes sobre V. Si \{ e_1, \ldots, e_n\} es una base de V y \{ e^1, \ldots, e^n\} su base dual (los elementos e^i son 1-formes: e^i: V \longrightarrow \mathbb{R} \in V^*), entonces todo elemento de V^{(r,s)} lo podemos escribir como:

t = t^{i_1,\ldots, i_r}_{j_1,\ldots, j_s}e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1} \otimes \ldots \otimes e^{j_s}

No es dificil demostrar \mathcal{L}(V,V) \cong V \otimes V^*, \mathcal{L}(V \times V, \mathbb{R}) \cong V^* \otimes V^* y, en general:

\mathcal{L}(V \times \overset{k)}{\ldots} \times V, V) \cong V \otimes (\otimes^k V^*).

Sea M una variedad diferenciable y m \in M. Entonces:

T_m^{(r,s)} = (\otimes^r T_mM) \otimes (\otimes^s T_m^*M)

es un tensor r veces contravariante y s veces covariante de M en m y

T^{(r,s)}M = \bigsqcup_{m \in M} T_m^{(r,s)}M

es la variedad de tensores de tipo (r,s) de M. Denotamos por \pi : T^{(r,s)}M \longrightarrow M a la proyección que a cada tensor en m le hace corresponder el punto m.

Un campo tensorial r veces contravariante y s veces covariante en M, de tipo (r,s), es una aplicación diferenciable K : M \longrightarrow T^{(r,s)}M tal que \pi \circ K = id, es decir, que para cada m\in M tenemos que K_m := K(m) \in T_m^{(r,s)}M (tenemos un campo tensorial definido en cada punto de la variedad).

Si (U, \varphi) es una carta, entonces:

K|_U = K^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_s} \frac{\partial}{\partial \varphi^{i_1}} \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial \varphi^{i_r}} \otimes d\varphi^{j_1} \otimes \ldots \otimes d\varphi^{j_s}

Los campos tensoriales son una generalización de:

  1. funciones: una función diferenciable h:M \longrightarrow \mathbb{R} determina un campo tensorial de tipo (0,0).
  2. campos vectoriales: un campo vectorial X: M \longrightarrow TM es un campo tensorial de tipo (1,0), pues TM = T^{(1,0)}.
  3. 1-formas: una 1-forma w: M \longrightarrow T^*M es un campo tensorial de tipo (0,1), ya que T^*M = T^{(0,1)}.
diciembre 2017
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