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En [Monaghan 1992] comenta el caso del método SPH en relatividad especial.

Para empezar asumimos que el fluido está constituido por bariones, por lo que el tensor de energia-momento es:

T^{\mu \nu} = (n m_0 c^2 + n \tau + P) U^\mu U^\nu + P g^{\mu \nu}

donde los indices griegos van de 0 a 3 y los coeficientes de la métrica se definen

g_{00} = -1 y g_{ij} = 1

En estas ecuaciones, n representa la densidad de bariones, P es la presión, \tau la energía térmica, c la velocidad del sonido, U^\nu la 4-velocidad con U_\nu U^\nu = -1 y m_0 la masa.

Las ecuaciones del momento se siguen de:

\frac{\partial}{\partial x^\nu} T^{i \nu} = 0

que es:

\frac{d}{dt} q = - \frac{1}{N} \nabla P

y en forma SPH queda:

\frac{d}{dt}q_a = -\sum_b \nu_b (\frac{P_a}{n_a^2} + \frac{P_b}{N_b^2}) \nabla_a W_{ab}

donde \nu_b es el número de bariones asociados a la partícula b.

Y la de la energía se sigue de:

\frac{\partial}{\partial x^j} T^{0j} = 0

que es:

\frac{d}{dt} \epsilon = - \frac{1}{N} \nabla \cdot (Pv)

y en foma SPH queda:

\frac{d}{dt} \epsilon_a = -\sum_b m_b (\frac{P_a v_a}{N_a^2} + \frac{P_b v_b}{N_b^2}) \nabla W_{ab}

En relatividad especial, o relatividad restringida, podemos generalizar las ecuaciones de Euler clásicas que determinan la evolución de los fluidos.

Para ello, definimos el tensor de energia-impulso de la siguiente manera:

T^{\alpha \beta} = (\rho + \frac{p}{c^2}) u^\alpha u^\beta + p \eta^{\alpha \beta}

De esta manera:

\frac{\partial}{\partial x^\beta} T^{\alpha \beta} = 0

generaliza tanto la ecuación de conservación de la masa como las ecuaciones de Euler.

La hidrodinámica (HD) es la parte de la física que estudia la dinámica de los fluidos tanto incompresibles, los líquidos, como compresibles, los gases o los líquidos a alta presión (de hecho, todos los fluidos son compresibles, siendo la incompresibilidad una aproximación para simplificar las ecuaciones que describen su dinámica).

La magnetohidrodinámica (MHD) estudia la dinámica de fluidos conductores de electricidad en presencia de campos electromagnéticos. El conjunto de ecuaciones que describen la MHD son una combinación de las ecuaciones de Navier Stokes de la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo que deben ser resueltas simultaneamente.

Cuando tenemos flujos a velocidades cercanas a la velocidad de la luz entonces hablamos de hidrodinámica en relatividad especial (SRHD) y magnetohidrodinámica en relatividad especial (SRMHD).

Finalmente, cuando el fluido está en presencia de fuertes campos gravitatorios, como por ejemplo en presencia de objetos compactos, hablamos de hidrodinámica y magnetohidrodinámica en relatividad general (GRHD y GRMHD).

junio 2017
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