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En [Rosswog 2009] tenemos las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana discretizadas y en su forma mas básica. Las partículas avanzaran en el tiempo siguiendo las siguientes ecuaciones:

Para empezar, no hay necesidad de resolver la ecuación de continuidad ya que la masa de las partículas permanece fija. Podemos obtener las densidades mediante:

\rho_a = \sum_b m_b W_{ab}

La ecuación del momento queda:

\frac{d}{dt}\vec{v}_a = - \sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{P_b}{\rho_b^2} + \Pi_{ab} ) \nabla_a W_{ab}

La ecuación de evolución para la energía interna específica puede escribirse como:

\frac{d}{dt} u_a = \sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{1}{2}\Pi_{ab}) \vec{v}_{ab} \nabla_b W_{ab}

Rosswog las llama “vanilla ice” SPH.

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En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.

A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde  describimos el fluido desde un punto fijo del espacio, el Smoothed Particle Hydrodynamics es totalmente Lagrangiano, por lo que describimos el fluido desde un sistema de coordenadas fijado en una particula del fluido en movimiento.

La derivada Lagrangiana o sustancial respecto del tiempo, \frac{d}{dt}, se relaciona con la derivada Euleriana respecto al tiempo, \frac{\partial}{\partial t} de la siguiente manera:

\frac{d}{dt} = \frac{dx^i}{dt} \frac{\partial}{\partial x^i} + \frac{\partial}{\partial t} = \vec{v} \cdot \nabla + \frac{\partial}{\partial t}

Aplicando esta relación a las ecuaciones en forma Euleriana, las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana quedan:

  1. Ecuación de continuidad: \frac{d}{dt} \rho = - \rho \nabla \cdot \vec{v}
  2. Ecuacion del momento: \frac{d}{dt} \vec{v} = -\frac{\nabla P}{\rho} + \vec{f}
  3. Ecuación de la energía: \frac{d}{dt}u = \frac{P}{\rho^2} \frac{d}{dt} \rho = - \frac{P}{\rho} \nabla \cdot \vec{v}
  4. Ecuación de estado, que describe la termodinámica del fluido estelar: P = (\gamma -1) \cdot \rho \cdot \epsilon (ecuación del gas ideal)
octubre 2019
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