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Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Compactificaremos de dos manera diferentes:

\boxed{\boxed{x = a \, \mbox{arctanh} \, \bar{x}, y = b \, \mbox{arctanh} \, \bar{y}, z = c \, \mbox{arctanh} \, \bar{z} }}

Para la base \{ \partial_{\bar{x}}, \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan (utilizamos X,Y,Z en Mathematica para representar \bar{x},\bar{y},\bar{z}):

ChrSym_CarCom1

CovDer_CarCom1

Para la base \{ \frac{|-1+\bar{x}^2|}{a} \partial_{\bar{x}}, \frac{|-1+\bar{y}^2|}{b} \partial_{\bar{y}}, \frac{|-1+\bar{z}^2|}{c} \partial_ {\bar{z}}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_CarComNor1

CovDer_CarComNor1

\boxed{\boxed{x = a \tan \frac{\pi \bar{x}}{2}, b \tan \frac{\pi \bar{y}}{2}, c \tan \frac{\pi \bar{z}}{2} }}

Para la base \{ \partial_{\bar{x}}, \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_CarCom2

CovDer_CarCom2

Para la base \{ \frac{1+\cos (\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}}, \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}}, \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_ {\bar{z}}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_CarComNor2

CovDer_CarComNor2

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Compactificaremos de tres manera diferentes:

\boxed{\boxed{r = \frac{a \bar{r}}{1 - \bar{r}}}} (y no \frac{a \bar{r}}{a - \bar{r}} como escribimos en este post)

Para la base \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan (\bar{r} lo representamos mediante R en Mathematica):

ChrSym_SphCom

CovDer_SphCom

Para la base \{ \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}}\csc \theta \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphComNor

CovDer_SphComNor

\boxed{\boxed{r=a\, \mbox{arctanh} \bar{r}}}

Para la base \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_SphCom2

CovDer_SphCom2

Para la base \{ \frac{1-\bar{r}^2}{a}\partial_{\bar{r}}, \frac{1}{a\, \mbox{\scriptsize arctanh}\, \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{a\, \mbox{\scriptsize arctanh} \,\bar{r}} \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphComNor2

CovDer_SphComNor2

\boxed{\boxed{r = a \tan \frac{\pi \bar{r}}{2}}}

Para la base \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_SphCom3

CovDer_SphCom3

Para la base \{ \frac{1+\cos \pi \bar{r}}{a \pi} \partial_{\bar{r}}, \frac{\cot \frac{\pi \bar{r}}{2}}{a} \partial_{\theta}, \frac{\cot \frac{\pi \bar{r}}{2}}{a} \csc \theta \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphComNor3

CovDer_SphComNor3

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Para la base \{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

   ChrSym_Sph

CovDer_Sph

Para la base \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{r} \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphNor

CovDer_SphNor

Ya tenemos nuestra función lista para realizar todos estos cálculos de manera automática.

Para la base \{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_z\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_Cyl

CovDer_Cyl

Para la base \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \partial_ z\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_CylNor

CovDer_CylNor

En este post ya calculamos los corchetes de Lie para los elementos de la base \{ \hat{e}_i\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi \}. Vamos a calcular ahora los coeficientes de conmutacion c_{ijk} (todas las r, \theta, \varphi que aparecen a continuación son \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}).

Como [\hat{e}_i,\hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k, entonces:

[\hat{e}_1,\hat{e}_2] = c_{12}^{\phantom{12}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_2 \rightarrow c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r} = -c_{\theta r}^{\phantom{r \theta} \theta}

[\hat{e}_1,\hat{e}_3] = c_{13}^{\phantom{13}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r} = -c_{\varphi r}^{\phantom{r \varphi} \varphi}

[\hat{e}_2,\hat{e}_3] = c_{23}^{\phantom{23}m} \hat{e}_m = -\frac{\cot \theta}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r} = -c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi}

Vamos a calcular ahora los tres coeficientes de rotación de Ricci que, por tener indices covariantes diferentes, podrían no ser simétricos en la base ortonormal, cuando si lo son en una holonómica. Empezamos por los correspondientes a los Christoffel \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r}:

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta r \theta} + c_{\theta \theta r} - c_{r \theta \theta}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\theta r \theta} = \eta_{\theta i} c_{\theta r}^{\phantom{\theta r}i} = c_{\theta r}^{\phantom{\theta r} \theta} = \frac{1}{r}

c_{\theta \theta r} = \eta_{r i} c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta}i} = c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta} r} = 0

c_{r \theta \theta} = \eta_{\theta i} c_{r \theta}^{\phantom{r \theta}i} = c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta \theta r} + c_{\theta r \theta} - c_{\theta r \theta}) = \frac{1}{2} c_{\theta \theta r} = 0

y vemos que, efectivamente, ahora no son simétricos. Seguimos con los correspondientes a \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r}:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi r \varphi} + c_{\varphi \varphi r} - c_{r \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\varphi r \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r}i} = c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r} \varphi} = \frac{1}{r}

c_{\varphi \varphi r} = \eta_{r i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} r} = 0

c_{r \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi}i} = c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi r} + c_{\varphi r \varphi} - c_{\varphi r \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi r} = 0

Finalmente, los últimos que pierden su simetría son:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \theta \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \theta \varphi} + c_{\varphi \varphi \theta} - c_{\theta \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{\cot \theta}{r} + \frac{\cot \theta}{r}) = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \theta \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta}i} = c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi} = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \varphi \theta} = \eta_{\theta i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} \theta} = 0

c_{\theta \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi}i} = c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi \theta} + c_{\varphi \theta \varphi} - c_{\varphi \theta \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi \theta} = 0

Existe una manera alternativa de realizar todos estos cálculos, que dejaremos para un futuro post, utilizando las formas de conexión, las ecuaciones de estructura de Cartan asumiendo torsión nula y la derivada exterior.

Los resultados presentados en este post son incorrectos 😦 .

El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero:

[e_i,e_j] = 0 si i \neq j.

Pero si la base no es holonómica, entonces la definición incorpora tres términos más, los coeficientes de conmutación de la base, y llamamos a los símbolos coeficientes de la conexión. Si la base es ortonormal, estos reciben el nombre de coeficientes de rotación de Ricci.

Una conexión afín (o derivación covariante) permite

La derivada covariante del campo vectorial queda:

donde el primer sumando corresponde a la derivada parcial del campo respecto de la base y la segunda a la variación de la propia base curvilínea respecto de las lineas coordenadas.

Aunque la formula anterior corresponde a la derivada covariante de un campo vectorial contravariante, es fácilmente extensible a cualquier tensor (p,q). La derivada covariante de un tensor de este tipo queda:

\mathcal{D}_{\hat{k}} T^{\hat{i}_1 \cdots \hat{i}_p}_{\hat{j}_1 \cdots \hat{j}_q} = e_{\hat{k}}^l \partial_{\hat{k}} T^{\hat{i}_1 \cdots \hat{i}_p}_{\hat{j}_1 \cdots \hat{j}_q} + \Sigma_{i=1}^p \Gamma_{}^{} T_{}^{\hat{j}_1 \cdots \hat{j}_q} - \Sigma_{i=1}^q \Gamma_{}^{} T_{\hat{i}_1 \cdots \hat{i}_p}^{}.

Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica (J \neq 0 y Q = 0). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

g = - (1-\frac{2Mr}{\Sigma})dt \otimes dt - \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}dt \tilde{\otimes} d\varphi +

+ \frac{\Sigma}{\Delta}dr \otimes dr + \Sigma d\theta \otimes d\theta + (r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta}{\Sigma})sin^2\theta d\varphi \otimes d\varphi

donde a:=\frac{J}{M}, \Delta:= r^2 - 2Mr + a^2 y \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \theta. El agujero negro está rotando en la dirección +\varphi y el espín está restringido al rango 0 \leq \frac{a}{M} \leq 1. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando a=0.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en 4 dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

\left(  \begin{array}{cccc}  -1+\frac{2 M \text{x2}}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} \\  0 & \frac{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}}{\frac{J^2}{M^2}-2 M \text{x2}+\text{x2}^2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & \text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2} & 0 \\  -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & \text{Sin}[\text{x3}]^2 \left(\frac{J^2}{M^2}+\text{x2}^2+\frac{2 J^2 \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{M \left(\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}\right)}\right)  \end{array}  \right)

y en un momento obtenemos:

\Gamma^{1}_{\alpha \beta}:

Gamma1

\Gamma^2_{\alpha \beta}:

Gamma2

\Gamma^3_{\alpha \beta}:

Gamma3

\Gamma^4_{\alpha \beta}:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

\frac{d^2}{dt^2}x^i + \Gamma^i_{jk} \frac{d}{dt}x^j \frac{d}{dt}x^k = 0.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases} \ddot{t} + \ldots = 0 \\ \ddot{r} + \ldots = 0 \\ \ddot{\theta} + \ldots = 0 \\ \ddot{\varphi} + \ldots = 0 \end{cases}

donde, por ejemplo, para \theta tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

\ddot{\theta} -

- \frac{J^2 M^5 r \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t}^2 + \frac{J^2 M^2 \text{Sin}[\theta]}{2 \left(J^2+M^2 r (-2 M+r)\right) \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)} \dot{r}^2 - \frac{J^2 \text{Sin}[\theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 \text{Cos}[\theta]} \dot{\theta}^2 -

-\frac{\left(J^2+M^2 r^2\right) \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^2 \text{Sin}[\theta]+4 J^2 M^3 r \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right) \text{Sin}[\theta]^3+J^4 M^3 r \text{Sin}[\theta]^5}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{\varphi}^2 +

+ \frac{J M^4 r \left(4 M^2 r^2 \text{Cos}[\theta]+J^2 (3+\text{Cos}[2 \theta])\right) \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t} \dot{\varphi} + \frac{r}{r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta]}{M^2}} \dot{r} \dot{\theta} = 0

agosto 2017
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