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Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular.

El tensor de curvatura de Riemann:

R^{a}_{bcd} = \partial_c \Gamma^{a}_{bd} - \partial_d \Gamma^{a}_{bc} + \Gamma^{a}_{ec} \Gamma^{e}_{bd} - \Gamma^{a}_{ed} \Gamma^{e}_{bc},

el tensor de Ricci:

R_{ab} = R^{c}_{acb} = \partial_c \Gamma^{c}_{bd} - \partial_d \Gamma^{c}_{bc} + \Gamma^{c}_{ec} \Gamma^{e}_{bd} - \Gamma^{c}_{ed} \Gamma^{e}_{bc},

la curvatura escalar:

R = R^{a}_{a}

y el tensor de Weyl:

C_{abcd} = R_{abcd} -

- \frac{1}{2}(g_{ac}R_{bd}-g_{ad}R_{bc}-g_{bc}R_{ad}+g_{bd}R_{ac}) + \frac{1}{6}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) R

Empezamos con la esfera S^2(\frac{1}{r^2}). Recordamos los símbolos de Christoffel que encontramos:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = -\sin \theta \cos \theta,

\Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \cot \theta, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = 0

(Escribir ahora las ecuaciones de las geodésicas es inmediato: una equacion por variable contravariante donde aparece la segunda derivada de esta y un termino para cada símbolo no nulo de la fila con la primera derivada de las variables covariantes:

\begin{cases} \ddot{\theta} - \dot{\varphi}^2 \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \ddot{\varphi} + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cot \theta = 0 \end{cases}

que coincide con lo que calculamos en este post de otra manera sin necesidad de los símbolos de Christoffel).

Tenemos cuatro índices y cada uno puede tomar dos valores, pues estamos trabajando con superificies, variedades de dos dimensiones, por lo que tenemos un tensor de con 16 componentes (en el caso de estar trabajando con una variedad de cuatro dimensiones como es espacio-tiempo, el tensor de Riemann tiene 256 componentes..). Aunque existe una serie de propiedades que minimizan el número de componentes de n^4 a \frac{1}{12}n^2(n^2-1) (simetrías, antisimetrías e identidades de Bianchi) vamos a calcularlos todos aquí para practicar.

R^{\theta}_{ \theta \theta \theta} = \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \theta \theta \varphi} = \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \theta \varphi \theta} = \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 0

R^{\theta}_{ \theta \varphi \varphi} = \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 0

R^{\theta}_{ \varphi \theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \varphi \theta \varphi} =

= \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \sin^2 \theta

R^{\theta}_{ \varphi \varphi \theta} =

= \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = -\sin^2 \theta

R^{\theta}_{\varphi \varphi \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \theta \theta \theta} = 0

R^{\varphi}_{ \theta \theta \varphi} = \partial_\theta \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} + \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = -1

R^{\varphi}_{ \theta \varphi \theta} = \partial_\varphi \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 1

R^{\varphi}_{ \theta \varphi \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \theta \theta} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \theta \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \varphi \theta} = 0

R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = 0

Continuamos con el tensor de Ricci. Podemos calcularlo a partir de la formula o a partir del tensor de Riemann, que ya lo tenemos. Lo haremos de esta última manera:

R_{\theta \theta} = R^{a}_{\theta a \theta} = R^{\theta}_{\theta \theta \theta} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \theta} = 1

R_{\theta \varphi} = R^{a}_{\theta a \varphi} = R^{\theta}_{\theta \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \varphi} = 0

R_{\varphi \theta} = R^{a}_{\varphi a \theta} = R^{\theta}_{\varphi \theta \theta} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \theta} = 0

R_{\varphi \varphi} = R^{a}_{\varphi a \varphi} = R^{\theta}_{\varphi \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = \sin^2 \theta.

Finalmente, calculamos la curvatura escalar:

g^{cb}R_{ab} = R^c_a,

R^a_a = g^{\theta \theta}R_{\theta \theta} + g^{\theta \varphi}R_{\theta \varphi} + g^{\varphi \theta}R_{\varphi \theta} + g^{\varphi \varphi}R_{\varphi \varphi} = \frac{1}{r^2}1+\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \sin^2 = \frac{2}{r^2},

que es, tal y como esperabamos, la mitad de la curvatura de Gauss (R = 2K).

Seguimos ahora con la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{r^2}). Los símbolos de Christoffel eran:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta} = -\csc \theta \sec \theta, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = -\sin^2 \theta \tan \theta,

\Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \cot \theta, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = 0

(Aprovechamos otra vez, conocidos los símbolos de Christoffel, para escribir las ecuaciones de las geodésicas:

\begin{cases} \ddot{\theta} - \dot{\theta}^2 \csc \theta \sec \theta - \dot{\varphi}^2 \sin^2 \theta \tan \theta = 0 \\ \ddot{\varphi} + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cot \theta = 0 \end{cases}

que debería coincidir con la de aquí).

Como es bastante laborioso, aquí otro programita, esta vez para el tensor de Riemann:

tensorRiemann

y los resultados:

tensorRiemannPseudoesfera

por tanto, Ricci es:

R_{\theta \theta} = R^{a}_{\theta a \theta} = R^{\theta}_{\theta \theta \theta} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \theta} = - \cot^2 \theta

R_{\theta \varphi} = R^{a}_{\theta a \varphi} = R^{\theta}_{\theta \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \varphi} = 0

R_{\varphi \theta} = R^{a}_{\varphi a \theta} = R^{\theta}_{\varphi \theta \theta} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \theta} = 0

R_{\varphi \varphi} = R^{a}_{\varphi a \varphi} = R^{\theta}_{\varphi \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = -\sin^2 \theta.

y la curvatura escalar:

R=R^a_a = g^{\theta \theta}R_{\theta \theta} + g^{\theta \varphi}R_{\theta \varphi} + g^{\varphi \theta}R_{\varphi \theta} + g^{\varphi \varphi}R_{\varphi \varphi} =

= \frac{1}{r^2 \cot^2 \theta}(-\cot^2 \theta)+\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} (-\sin^2) = -\frac{2}{r^2},

que vuelve a ser R = 2K. Aquí es resultado con dos nuevas funciones programadas para el tensor de Ricci y la curvatura escalar:

RiemannRicciRH2

Por último, para \mathbb{R}^2 todo es 0.

Finalmente una gráfica de todas las curvaturas escalares que hemos encontrado:

curvaturaEscalar2D

Los colores son los mismos que los de las superficie correspondiente de este post y añadiendo en rojo la curvatura escalar del toro. Recordar que, en superficies, la curvatura escalar es el doble de la curvatura Gauss o curvatura intrínseca y esta, a su vez, es el producto de las dos curvaturas principales.

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura (-,+,+,+) y G=c=1):

G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}

donde G_{\mu\nu} es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, 8 \pi es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y T_{\mu\nu} es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como G_{\mu \nu}, T_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R}), tenemos 16 ecuaciones que se reducen a 10 por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son 10 PDEs acopladas en 4D.

El tensor de Einstein se define como:

G_{\mu \nu} := R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}R

donde R_{\mu \nu}:=R^\lambda_{\mu \lambda \nu} es el tensor de Ricci (R_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R})) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y R:=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión \nabla:

R(u,v)w = \nabla_u \nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\sigma \nu} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\sigma \mu} + \Gamma^\alpha_{\sigma \nu} \Gamma^\rho_{\alpha \mu} - \Gamma^\alpha_{\sigma \mu} \Gamma^\rho_{\alpha \nu}

y que con 4 índices en n dimensiones tiene n^4 componentes, de las que solo 20 (si n=4 y 4^4=256), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que R=0 \Leftrightarrow variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

v_\alpha = g_{\alpha \beta} v^\beta

v^\alpha = g^{\alpha \beta} v_\beta

R_{\rho \sigma \mu \nu} = g_{\rho \alpha} R^{\alpha}_{\sigma \mu \nu}

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo (0,4) (los elementos de la base pasan de ser de la forma \frac{\partial}{\partial_{x^\alpha}} \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta de un tensor de tipo (1,3) a ser de la forma dx^\alpha \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

  1. Antisimetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = - R_{\alpha \beta \delta \gamma} = -R_{\beta \alpha \gamma \delta}.
  2. Simetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = R_{\gamma \delta \alpha \beta}.
  3. Primera identidad de Bianchi: R_{\alpha[\beta\gamma\delta]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta} + R_{\alpha\gamma\delta\beta} + R_{\alpha\delta\beta\gamma} = 0.
  4. Segunda identidad de Bianchi:R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\epsilon]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta;\epsilon} + R_{\alpha\beta\delta\epsilon;\gamma} + R_{\alpha\beta\epsilon\gamma;\delta} = 0.

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

T^{00} = densidad de energía.

T^{0i} = densidad de momento.

T^{ij} = flujo de momento i a través de la superficie j.

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

G^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0 \Rightarrow T^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde ; indica la derivada covariante.

mayo 2020
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