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Dado un embedding tanto de la esfera como del toro, lo aprovechamos para ver como quedan las funciones trigonométricas sobre estas variedades:

Tomamos el toro \mathbb{T}^2 como variedad diferenciable sobre el que construiremos dos variedades de Riemann no isométricas.

Por una parte, si consideramos \mathbb{T}^2 = S^1(\frac{1}{a^2}) \times S^1(\frac{1}{b^2}). Como a S^1(\frac{1}{a^2}) le corresponde la métrica \theta_1^2 y a S^1(\frac{1}{b^2}) le corresponde \theta_2^2, podemos construir una variedad de Riemann con la métrica producto:

(\mathbb{T}^2, (d\theta^1)^2 + (d\theta^2)^2)

Por otra, podemos considerar el embedding (la parametrización) de \mathbb{T}^2 en \mathbb{R}^3 siguiente:

f: \mathbb{T}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta^1,\theta^2) \mapsto (a+b\cos \theta^1) \cos \theta^2, (a + b \cos \theta^1) \sin \theta^2, b \sin \theta^2)

de manera  que, mediante el pullback, podemos construir la métrica f^*h donde h es la métrica ordinaria de \mathbb{R}^3:

f^*h = b^2 (d\theta_1)^2 + (a+b \cos \theta^1)^2 (d\theta^2)^2.

Estas dos variedades de Riemann no son isométricas (la primera tiene k=0, por lo que es isométrica al plano y la variedad recibe el nombre de toro plano, mientras que la segunda tiene k \neq 0 y es el toro habitual).

febrero 2020
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