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Tomamos el toro \mathbb{T}^2 como variedad diferenciable sobre el que construiremos dos variedades de Riemann no isométricas.

Por una parte, si consideramos \mathbb{T}^2 = S^1(\frac{1}{a^2}) \times S^1(\frac{1}{b^2}). Como a S^1(\frac{1}{a^2}) le corresponde la métrica \theta_1^2 y a S^1(\frac{1}{b^2}) le corresponde \theta_2^2, podemos construir una variedad de Riemann con la métrica producto:

(\mathbb{T}^2, (d\theta^1)^2 + (d\theta^2)^2)

Por otra, podemos considerar el embedding (la parametrización) de \mathbb{T}^2 en \mathbb{R}^3 siguiente:

f: \mathbb{T}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta^1,\theta^2) \mapsto (a+b\cos \theta^1) \cos \theta^2, (a + b \cos \theta^1) \sin \theta^2, b \sin \theta^2)

de manera  que, mediante el pullback, podemos construir la métrica f^*h donde h es la métrica ordinaria de \mathbb{R}^3:

f^*h = b^2 (d\theta_1)^2 + (a+b \cos \theta^1)^2 (d\theta^2)^2.

Estas dos variedades de Riemann no son isométricas (la primera tiene k=0, por lo que es isométrica al plano y la variedad recibe el nombre de toro plano, mientras que la segunda tiene k \neq 0 y es el toro habitual).

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Se pueden pensar las geodésicas de una variedad M como curvas \gamma que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas.

Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales (D_{\vec{v}} Y , que podemos ver como (\nabla Y) \cdot \vec{v}, que nos permite definir D_X Y) no tiene porque estar en el espacio tangente de una variedad arbitraria, necesitamos aprender a derivar campos vectoriales en éstas.

Si la variedad está contenida en un espacio ambiente, siempre podemos quedarnos con la parte tangente de las derivadas direccionales, es decir, siempre podemos proyectar (D_X^T Y), pero ¿qué pasa cuando no tenemos la variedad embebida en un espacio ambiente? o, equivalentemente, ¿qué pasa cuando queremos trabajar de manera intrínseca? Necesitamos introducir el concepto de conexión.

Una conexión nos permitirá derivar campos vectoriales sobre variedades abstractas y definir así la aceleración de una curva como la variación del campo velocidad a lo largo de ésta. Se puede definir una conexión sobre una variedad M como una aplicación:

\nabla: \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \longrightarrow \mathcal{X}(M)

cumpliendo:

  1. \nabla es \mathcal{C}^\infty (M)-lineal en la primera variable.
  2. \nabla es \mathbb{R}-lineal en la segunda variable.
  3. \nabla_X (fY) = X(f) Y + f \nabla_X Y para toda función f.

Llamamos al nuevo campo vectorial \nabla_X Y derivada covariante de Y con respecto a X y \nabla_{X_p} Y es la derivada direccional de Y en la dirección X_p sobre la variedad abstracta.

Esta definición es poco operativa. Si expresamos los campos en una carta (U,\phi), entonces \nabla_X Y queda totalmente determinado por los símbolos de conexión \Gamma_{ij}^k determinados mediante:

\nabla_{\frac{\partial}{\partial \phi^i}} \frac{\partial}{\partial \phi^j} = \sum_k \Gamma_{ij}^k \frac{\partial}{\partial \phi^k}

en las coordenadas de la carta.

Una consideración importante es que las conexiones existen sin la necesidad de las métricas, es decir, que podemos hacer referencia a transporte paralelo y a geodésicas en una variedad sin necesidad de tener definida una métrica sobre ésta. Sin embargo, un resultado sorprendente, fundamental, nos garantiza la construcción de una conexión única coherente con la métrica: la conexión de Levi-Civita.

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