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Tomamos el toro \mathbb{T}^2 como variedad diferenciable sobre el que construiremos dos variedades de Riemann no isométricas.

Por una parte, si consideramos \mathbb{T}^2 = S^1(\frac{1}{a^2}) \times S^1(\frac{1}{b^2}). Como a S^1(\frac{1}{a^2}) le corresponde la métrica \theta_1^2 y a S^1(\frac{1}{b^2}) le corresponde \theta_2^2, podemos construir una variedad de Riemann con la métrica producto:

(\mathbb{T}^2, (d\theta^1)^2 + (d\theta^2)^2)

Por otra, podemos considerar el embedding (la parametrización) de \mathbb{T}^2 en \mathbb{R}^3 siguiente:

f: \mathbb{T}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta^1,\theta^2) \mapsto (a+b\cos \theta^1) \cos \theta^2, (a + b \cos \theta^1) \sin \theta^2, b \sin \theta^2)

de manera  que, mediante el pullback, podemos construir la métrica f^*h donde h es la métrica ordinaria de \mathbb{R}^3:

f^*h = b^2 (d\theta_1)^2 + (a+b \cos \theta^1)^2 (d\theta^2)^2.

Estas dos variedades de Riemann no son isométricas (la primera tiene k=0, por lo que es isométrica al plano y la variedad recibe el nombre de toro plano, mientras que la segunda tiene k \neq 0 y es el toro habitual).

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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos (M,g), donde M es una variedad diferencial abstracta y g es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

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