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Hace un tiempo que andaba pensando en transformadas de Fourier y en su generalización en variedades, había leido y comentado cosas con profesores y, finalmente, tengo algo de luz en mi cabeza :-). A ver si nos entendemos enumerando las ideas:

  1. Cuando pensamos en la transformada de Fourier clásica, para pasar al dominio de frecuencias una señal f(t), ésta se encuentra en el espacio euclideo \mathbb{R}^2.
  2. El espacio euclideo \mathbb{R}^2 tiene el producto escalar habitual \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2, una métrica.
  3. En general, en \mathbb{K}^n, para reales o complejos, tenemos el producto escalar \langle u, v \rangle = \Sigma_{i=1}^{n} u_i \bar{v_i}.
  4. Pensando en transformadas, aunque la función f(x) \subset \mathbb{R}^2, en realidad la estamos pensando como un elemento de un espacio mas general: un espacio de funciones.
  5. El espacio en cuestión es L^2(\mathbb{R}):=\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} medible \,|\, \int_{\mathbb{R}} |f|^2 < +\infty \}.
  6. Este espacio forma parte de una familia, los espacios de Lebesgue L^p(\Omega):=\{ f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_{\Omega} |f|^p < +\infty \}, donde p \in [0,+\infty) y \Omega es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue. Esta familia de espacios normados, con norma ||\,\,||_{p}:=(\int_{\Omega} |f|^p)^{\frac{1}{p}}, son espacios de Banach.
  7. En realidad, L^2(\Omega) es un espacio de Hilbert, pues su norma deriva del producto escalar B(f,g):= \int_{\Omega} f\bar{g}, pues para cualquier producto escalar B: H\times H \rightarrow \mathbb{K} siempre podemos definir su norma asociada q_{B}: H \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup {0} \,/\, u \mapsto q_B(u):=\sqrt{B(u,u)} con u \in H.
  8. En el caso particular de la tranformada de Fourier de una función f(t), podemos entenderla como el producto escalar de esta por la exponencial compleja e^{-2 \pi i \xi t}: f(\xi):=B(f(t),e^{-2 \pi i \xi t}) = \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2 \pi i \xi t} dt.
  9. De esta manera, en \mathbb{R}^2 tenemos vectores, y podemos hacer geometría mediante el producto escalar habitual, pero también tenemos funciones, y también con éstas podemos hacer geometría mediante el último producto escalar definido, o podriamos definir l^p:=\{ \{a_n\}_{n=1}^\infty \,|\, \Sigma_{n=1}^\infty |\{ a_n\}|^p < +\infty\} con B: l \times l \rightarrow \mathbb{K} \,/\, (\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty) \mapsto \Sigma_{n=1}^\infty a_n \bar{b_n} y hacer geometría con sucesiones.
  10. Por tanto, puedo definir diferentes entidades sobre un mismo espacio, definir su correspondiente producto escalar y hacer geometría con éstas.
  11. Al igual que utilizamos el producto escalar habitual del plano tangente para trabajar en un punto de la variedad, tendríamos que hacer lo mismo con el resto de entidades.
  12. Cuando hablamos de teoría espectral, necesitamos un sistema ortonormal \{ x_i \}_{i \in I}, es decir, un conjunto de vectores que forman una base y  que B(u_i,u_j) = \delta_{ij}. ¿Cómo encontrar un sistema de este tipo?
  13. Sabemos que vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Por tanto, podemos construir un sistema de este tipo diagonalizando un operador. De hecho, podemos relacionar la base utilizada en Fourier con el operador diferenciación.
  14. Cuando tenemos diversas variables, el operador equivalente sería el Laplaciano. Por tanto, podriamos construir una base ortonormal infinita en una variedad encontrando una base de vectores propios asociados al operador Laplaciano definido en la variedad.
  15. En realidad, al trabajar con una variedad M, por un lado tengo el operador de Laplace-Beltrami, que es una generalización del Laplaciano al caso de variedades, y por otra tendré que considerar funciones sobre éste, por lo que ahora trabajaré con el espacio L^2(M) := \{ f: M \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_M |f|^2 < +\infty \}.
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Leyendo el capítulo dedicado a Lagrangianos y Hamiltonianos del libro de Roger Penrose El camino a la realidad me sorprendió cuando en un momento, después de presentar al Lagrangiano

\mathcal{L} = \mathcal{L}(q^1, \ldots, q^n, \dot{q}^1, \ldots, \dot{q}^n )

como una función, de posiciones generalizadas q^i que etiquetan los puntos del espacio de configuración \mathcal{C}, una variedad diferenciable de dimensión n, y velocidades generalizadas \dot{q}^i:=\frac{d}{dt}q^i, cuya interpretación física es la diferencia entre energía cinética K del sistema y la energía potencial V debido a fuerzas externas, es decir, \mathcal{L} = K-V, las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan como:

\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}^r}\mathcal{L} = \frac{\partial}{\partial q^r} \mathcal{L} con r=1 \ldots n,

recordando que cada \dot{q}^r debe tratarse como una variable independiente.

Esto, aquí mi sorpresa, es idéntico a lo que utilizamos en este post

\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{x}^i} g = \frac{\partial}{\partial x ^i} g

para calcular las geodésicas de una variedad Riemanniana sin necesidad de pasar por el cálculo de los símbolos de Christoffel a partir de su métrica, por ejemplo, para encontrar su conexión…

Así pues, la conclusión es que, como cada punto \alpha de la variedad n-dimensional \mathcal{C} representa una configuración del sistema y, a medida que evoluciona en el tiempo, describe una curva \alpha(t) \in \mathcal{C}, esta trayectoria puede considerarse como una geodésica en el espacio de fases \mathcal{C}.

Para terminar, pone un sencillo ejemplo donde el sistema consta de una única partícula de masa m que se mueve en el campo gravitatorio cerca de la superficie terrestre V(t,x,y,z)=mgz. Utilizando \frac{1}{2}mv^2 para la energía cinética, nos queda que el Lagrangiano es:

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-mgz,

por lo que la ecuación de Euler-Lagrange para z nos queda:

m\frac{d}{dt}\dot{z} = mg \Leftrightarrow \ddot{z} = g,

que es lo que esperabamos :-).

Hablemos de generalizaciones, cosa esencial en matemáticas:

  • Desde el punto de vista del análisis funcional, ¿qué pasa si nuestro espacio tiene asociada una métrica no definida positiva?
  • En el caso finito, ¿qué pasa cuando en lugar de trabajar con \mathbb{R}^n o \mathbb{C}^n tengo variedades diferenciables mas generales?
  • En analisis funcional tengo espacios de funciones donde estas cumplen una propiedad asociada con una medida y especificada normalmente mediante una integral. ¿Puedo tener espacios de variedades cumpliendo propiedades de este tipo? (pues tiene sentido hablar de integración en variedades orientadas)
  • Al hablar de variedades de Riemann, asociamos una métrica a una variedad para poder hablar de distancias, areas, angulos, etc. En realidad, asociamos un producto escalar, un tensor 2 veces covariante, del que deriva una norma a partir de la que podemos especificar una distancia.

Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión n será una variedad diferenciable de dimensión 2n dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con operaciones de grupo holomorfas son ejemplos de variedades complejas.

Las variedades lorentzianas son importantes en relatividad general. La mecánica cuántica tiene su base matemática en los espacios de Hilbert complejos separables (L^2(\mathbb{R}) o \mathbb{C}^{2n+1}).

Existen diferentes maneras de definir el cuerpo de los números complejos. La mas intuitiva es hacer tomar el conjunto \mathbb{R} \times \mathbb{R} y definir las operaciones internas:

  • (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) .
  • (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1).

con (x_1,y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Es sencillo comprobar que \mathbb{C} := (\mathbb{R} \times \mathbb{R}, +, \cdot) tiene estructura de cuerpo.

Otra manera mas elegante es ver que \mathbb{C} \cong \frac{\mathbb{R}[x]}{(x^2+1)} donde (x^2+1) es el ideal generado por el polinomio irreducible x^2+1 \in \mathbb{R}[x], pues existe una propiedad que nos dice que un anillo conciente de este tipo tiene estructura de cuerpo.

El análisis complejo se encarga del estudio de las funciones de variable compleja. En próximos posts exponemos de manera breve algunos de los contenidos básicos del área: funciones analíticas, funciones holomorfas, funciones elementales, integración en el plano complejo con formula y teorema de Cauchy y teoremas de Laurent y de los residuos con algunas aplicaciones.

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