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Armónicos circulares

El operador Laplaciano en dos dimensiones y en coordenadas polares queda:

$\Delta := \partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta}$ ,

por lo que la ecuación de Laplace $\Delta u = 0$ en un sector circular $[r_1,r_2] \times [0,2\pi]$ se escribe:

$\partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta} = 0$ .

Aplicando el método de separación de variables, podemos plantear ahora una solución

$u(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta)$ ,

que es producto de dos funciones dependientes cada una de una sola de las variables. Sustituyendo la solución en la ecuación de Laplace, llegamos a: