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Las álgebras de Lie aparecen al estudiar los grupos de Lie compactos, aunque adquieren entidad propia dada su importancia en el estudio de los grupos y sus representaciones.

Se utilizan, entre otras cosas, para el análisis de esquemas de ruptura de la simetría gauge, al estudiar el modelo quark de los hadrones, en la reducción dimensional de teorías multidimensionales,…

Dado un grupo de Lie G podemos asociarle un álgebra de Lie \mathfrak{g}. En este post vamos a ver como.

Sea v(x) un campo vectorial en el grupo de Lie G. Diremos que el campo v(x) es invariante por la izquierda si lo es respecto a los desplazamientos a la izquierda:

(L_a)_* v(x) = v(ax) con a \in G.

Antes de seguir, clarifiquemos el significado de la expresión anterior. Para empezar, si a \in G es un elemento del grupo, L_a x = ax representan las traslaciones a la izquierda de valor a. Como v(x) es un campo vectorial, lo que tenemos es una aplicación:

v: G \longrightarrow TG,

donde TG es la variedad tangente a G. Finalmente, para la aplicación:

L_a: G \longrightarrow G

de las traslaciones a izquierda, podemos construir su aplicación diferencial:

(L_a)_*: TG \longrightarrow TG.

De esta manera, todo tiene sentido: como x \in G entonces v(x) \in TG y podemos aplicarle (L_a)_* que nos devuelve un elemento de TG. Por otro lado, ax \in G y v(ax) \in TG.

Con todo lo visto, dado un grupo de Lie G, el subconjunto \mathfrak{g} del conjunto de todos los campos diferenciables \chi(G) en G es un subespacio vectorial. Como:

(L_a)_*[u(x),v(x)] = [(L_a)_* u(x), (L_a)_* v(x)],

entonces \mathfrak{g} es un álgebra de Lie del grupo de Lie G con conmutador [u(a), v(a)].

Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos (M,g), donde M es una variedad diferencial abstracta y g es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

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