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Después de muchísimo tiempo sin escribir, vuelvo con este post que resume todo el trabajo que hemos realizado durante este último año.

En julio del año pasado nos enteramos de un artículo publicado por X. Yang and R. Mittal, de la Johns Hopkins University, en el que aceleraban de manera espectacular el algoritmo de Jacobi y lo utilizaban para resolver ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico.

A pesar del relativo eco mediático que tuvo, y aunque aceleraba muchísimo Jacobi, seguía sin ser competitivo con los métodos utilizados actualmente para solucionar este tipo de ecuaciones. Sin embargo, como prometía en cuanto a su sencillez desde el punto de vista tanto de implementación como de paralelización, decidimos trabajar un tiempo sobre el mismo.

Finalmente, en junio presentamos unos proceedings en el CEDYA 2015 (pag. 733) y hace tres semanas enviamos un paper a JCP, donde presentamos una serie de mejoras realizadas que permiten, tal y como allí comentamos, que el SRJ sea prácticamente competitivos en ejecución secuencial con los algoritmos utilizados actualmente.

Por un lado, su inmediata implementación (todos tenemos un Jacobi implementado de nuestro curso de métodos numéricos, y es trivial convertirlo en un SRJ 🙂 ) hace pensar que mucha gente que no tenga y necesite un resolvedor elíptico eficiente sin invertir mucho esfuerzo en su implementación quiera utilizarlo. Por otro, su trivial paralelización, por ejemplo en entornos GPU, nos hace pensar en su extraordinario potencial en el ámbito de la supercomputación.

En la página de nuestro grupo de investigación tenemos disponibles todos los esquemas SRJ presentados en el paper.

¡Disfrutenlo!

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El operador Laplaciano en dos dimensiones y en coordenadas polares queda:

\Delta := \partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta},

por lo que la ecuación de Laplace \Delta u = 0 en un sector circular [r_1,r_2] \times [0,2\pi] se escribe:

\partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta} = 0.

Aplicando el método de separación de variables, podemos plantear ahora una solución

u(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta),

que es producto de dos funciones dependientes cada una de una sola de las variables. Sustituyendo la solución en la ecuación de Laplace, llegamos a:

Para empezar, consideremos el operador Laplaciano. El principio del máximo para el Laplaciano nos dice que si \Delta u \geq 0 en una región \Omega acotada, entonces el máximo de la función u se alcanza obligatoriamente en \partial \Omega:

\max_{x \in \Omega} u(x) = \max_{y \in \partial \Omega}u(y).

De la misma manera, si lo que sabemos es que \Delta u \leq 0 en \Omega (principio del mínimo), entonces:

\min_{x \in \Omega} u(x) = \min_{y \in \partial \Omega}u(y).

Razonamos para la desigualdad estricta \Delta u > 0 (la igualdad también es cierta pero el razonamiento requiere de métodos perturbativos). Si x_0 es un punto donde se alcanza su máximo, entonces debe ser un punto crítico, por lo que sus derivadas primeras deben anularse \nabla u(x_0) = 0 y sus derivadas segundas puras deben ser no positivas u_{ii} \leq 0. De esta manera, llegamos a la contradicción, ya que

\Delta u(x_0) = \sum_i u_{ii}(x_0) \leq 0.

En particular, si una función es armónica \Delta u = 0, cumple tanto el principio del máximo como el del mínimo de manera que los extremos de toda función armónica definida sobre un dominio acotado se alcanzan en la frontera.

El hecho anterior es crucial para la unicidad de solución, si existe,  de la ecuaciónes elíptica:

\Delta u = f, x \in \Omega con u = g, x \in \delta \Omega,

ya que si existieran dos u_1 y u_2, y consideraramos la diferencia v=u_1 - u_2, esta es solución del problema:

\Delta v = 0, x \in \Omega con v = 0, x \in \delta \Omega,

siendo, por tanto, v armónica y tomando sus extremos en \partial \Omega. Pero como v es 0 en la frontera, tanto el máximo como el mínimo son nulos, y v solo puede ser la función identicamente nula, por lo que u_1 = u_2.

Existen criterios para la unicidad de operadores mas complejos. En el libro “Maximum Principles in Differential Equations” de M.H. Protter y H.F. Weinberger se trata el tema en profundidad.

 

Una PDE cuasilineal de segundo orden en dos variables independientes x e y con función incógnita u(x,y) tiene la forma general:

a(x,y,u,u_x,u_y) u_{xx} + 2b(x,y,u,u_x,u_y) u_{xy}

+ c(x,y,u,u_x,u_y)u_{yy} + d(x,y,u,u_x,u_y) = 0,

donde a,b,c,d son funciones contínuas en un subconjunto abierto \mathcal{V} de \mathcal{U} \times \mathbb{R}^3 de las variables (x,y,u,u_x,u_y) donde \mathcal{U} es un abierto de \mathbb{R}^2.

Definimos el discriminante como

D(v^0) := a(v^0)c(v^0) - b^2(v^0),

con v^0 = (x^0,y^0,u^0,u_x^0,u_y^0) \in \mathcal{V}. Diremos que la ecuación anterior es:

  1. Elíptica en el punto v^0 si D(v^0) > 0,
  2. Parabólica en el punto v^0 si D(v^0) = 0,
  3. Hiperbólica en el punto v^0 si D(v^0) < 0.

Por tanto, el carácter elíptico, parabólico o hiperbólico depende no solo del punto (x^0,y^0) \in \mathcal{U} sino también del valor de una solución y sus derivadas parciales de primer orden en dicho punto. Además, en el caso de que la parte principal, los coeficientes que multiplican a las derivadas de segundo orden, sea de coeficientes constantes, el carácter se mantiene en todos los puntos donde esté definida la función d.

De esta manera, la ecuación de Laplace u_{tt} + u_{xx} = 0 es elíptica en todos los puntos; la ecuación del calor u_t - u_{xx} =0 es parabólica; y la ecuación de ondas u_{tt} - u_{xx} = 0 es hiperbólica.

En el caso de tener n variables independientes x_1, x_2, \ldots, x_n entonces la ecuación general tiene la forma:

a^{ij}(x_1,\ldots, x_n, u, u_{x_1},\ldots, u_{x_n}) u_{x_i, x_j} + \ldots =0,

donde a^{ij} es la parte principal y el resto son terminos de menor orden. En este caso, el carácter de la ecuación depende de la signatura de los valores propios de la matriz de coeficientes:

  1. Elíptica si los valores propios son todos positivos o todos negativos,
  2. Parabólica cuando todos los valores propios son positivos o negativos excepto uno que es zero,
  3. Hiperbólica si todos los valores propios son positivos excepto uno que es negativo o todos son negativos excepto uno que es positivo.

Finalmente, toda ecuación se puede reducir a una forma canónica, que corresponde a uno de los tres tipos clásicos: Laplace, calor u ondas.

Recordemos lo ya expuesto en este post: que en las coordenadas esferoidales prolatas (\mu, \nu, \varphi), las dos primeras (\mu, \nu) provienen de las coordenadas elípticas, donde \mu \in ]0,+\infty[ y \nu \in ]0,2\pi[, mientras que la última \varphi \in ]0,2\pi[ proviene de rotarlas alrededor del eje que une los focos.

Compactificamos la primera coordenada mediante \boxed{\mu = b \tan \frac{\pi \bar{\mu}}{2}}.

El Laplaciano y las fuentes, en estas coordenadas y con esta compactificación, utilizando una nueva función en Mathematica que nos lo calcula todo, quedan:

lap_ellComNor2

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

s1_ellComNor2

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

s21_ellComNor2

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

A1x_ellComNor2

A2x_ellComNor2

A3x_ellComNor2

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

La salida ahora para un tensor dos veces contravariante en la base ortonormal queda:

CovDerTen2BiSphCom1,

Para primera ecuación:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

definimos como antes

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

De esta manera, en nuestras coordenadas obtenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\xi} V^{\xi} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} V^{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\varphi} V^{\varphi}) =

div_biSphComNor1

donde

V^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \bar{\eta}} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \varphi} ),

V^{\bar{\eta}} = \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \bar{\eta}} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \varphi} ),

V^{\varphi} = \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \bar{\eta}} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ),

que desarrollando las covariantes quedan:

V^{\xi} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

V^{\bar{\eta}} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta}) + 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} - \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ] ),

V^{\varphi} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

que combinandolo con la anterior, queda:

Finalmente, las ecuaciones:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} },

con las que procederemos de manera similar a como hemos hecho con las X^i, es decir, calculando las fuentes en una base, haciendo un cambio de base que las desacople (cartesianas), resolviendolas de manera independiente y volviendo a la base original:

S^i_\beta (\bar{r},\theta,\varphi) := 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}_i \Theta_{\beta},

que quedan:

S^{\xi}_\beta= 2 \big [ \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \bar{\eta}}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\xi} \Theta_\beta,

S^{\bar{\eta}}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \bar{\eta}}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{\eta}} \Theta_\beta,

S^{\varphi}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_\beta,

donde las derivadas covariantes del tensor dos veces contravariante:

T^{ij}:=\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}

son como acabamos de hacer en la ecuación anterior y las del escalar \Theta_\beta es como ya hicimos con las X^i:

S^{\xi} = 2 V^{\xi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{3a} \partial_{\xi} \Theta_{\beta},

S^{\bar{\eta}} = 2 V^{\bar{\eta}} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{3a} \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b} \partial_{\bar{\eta}} \Theta_{\beta},

S^{\varphi} = 2 V^{\varphi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{3a} \csc \xi \partial_{\varphi} \Theta_{\beta}.

Hacemos a continuación el cambio:

[S^{\xi}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S^{\bar{\eta}}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S^{\varphi}(\xi,\bar{\eta},\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [S^x(\xi,\bar{\eta},\varphi), S^y(\xi,\bar{\eta},\varphi), S^z(\xi,\bar{\eta},\varphi)],

y resolvemos:

\Delta \beta^{x} = S^{x}

\Delta \beta^{y} = S^{y}

\Delta \beta^{z} = S^{z},

deshaciendo el cambio:

[\beta^x(\xi,\bar{\eta},\varphi), \beta^y(\xi,\bar{\eta},\varphi), \beta^z(\xi,\bar{\eta},\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [\beta^{\xi}(\xi,\bar{\eta},\varphi),\beta^{\bar{\eta}}(\xi,\bar{\eta},\varphi),\beta^{\varphi}(\xi,\bar{\eta},\varphi)]

para terminar.

Recordemos lo ya expuesto en este post: que en las coordenadas biesféricas (\xi, \eta, \varphi), las dos primeras (\xi, \eta) provienen de las coordenadas bipolares, donde la primera indica el ángulo entre las dos rectas que unen nuestro punto con los dos focos que necesitamos para determinar las bipolares y la segundo es el logartimo del ratio entre la longitud de estas dos rectas, mientras que la última proviene de rotarlas alrededor del eje que une los focos.

Compactificamos la segunda coordenada mediante \boxed{\eta = \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}}}.

El Laplaciano, en estas coordenadas y con esta compactificación, queda:

\Delta = \frac{(\cos \xi - \mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}})^2}{a^2} \big [ \partial_{\xi \xi} + \csc \xi \frac{-1 + \cos \xi \, \mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}}}{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}} - \cos \xi} \partial_{\xi}

+\frac{(\bar{\eta} - 1)^4}{b^2} \partial_{\bar{\eta} \bar{\eta}} + \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b^2} (2(\bar{\eta}-1) -\frac{b \, \mbox{\scriptsize sinh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}}}{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}) \partial_{\bar{\eta}} + \csc^2 \xi \partial_{\varphi} \big ],

las derivadas covariantes de covectores (1-formas):

CovDer_BiSphComNor1

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\xi} S^*_{\xi} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} S^*_{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\varphi} S^*_{\varphi} ) =

s1_biSphComNor1

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasando la derivada contravariante a covariante mediante la métrica, queda:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X.

Definimos ahora

S_X^i := 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

de manera que:

S_X^{\xi} = 8 \pi f^{\xi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\xi k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\xi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\xi} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\xi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \partial_{\xi} \Theta_X

S_X^{\bar{\eta}} = 8 \pi f^{\bar{\eta} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{\eta} k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{\eta}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{\eta}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{\eta}} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b} \partial_{\bar{\eta}} \Theta_X

S_X^{\varphi} = 8 \pi f^{\varphi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\varphi k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \csc \xi \partial_{\varphi} \Theta_X

En este punto tenemos que el vector

(S_X^{\xi}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{\bar{\eta}}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{\varphi}(\xi,\bar{\eta},\varphi))

expresado en la base que resulta de normalizar la base coordenada \{ \partial_{\xi}, \partial_{\bar{\eta}}, \partial_{\varphi} \}. Lo que hacemos ahora es expresar este vector en la nueva base \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \}, de manera que obtenemos

(S_X^{x}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{y}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{z}(\xi,\bar{\eta},\varphi)).

y como es esta base las ecuaciones están desacopladas y \Theta_X es un campo escalar, resolvemos independientemente:

\Delta X^{x} = S_X^{x},

\Delta X^{y} = S_X^{y},

\Delta X^{z} = S_X^{z}.

Finalmente, con el cambio de base inverso, calculamos a partir de (X^{x},X^{y},X^{z}) el vector (X^{\xi},X^{\bar{\eta}},X^\varphi) .

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

Necesitamos ahora la derivada covariante de un vector (hasta ahora habían coincidido las derivadas covariantes de vectores y covectores, pero en este caso no):

CovDer_BiSphComNor1_vec

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\xi \xi} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\xi} + f^{\xi n} \mathcal{D}_n X^{\xi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\xi} X^{\xi} - \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\bar{\eta}} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A11_biSphComNor1

\hat{A}^{\xi \bar{\eta}} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\bar{\eta}} + f^{\bar{\eta} n} \mathcal{D}_n X^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} X^{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\xi} =

A12_biSphComNor1

\hat{A}^{\xi \varphi} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\xi} =

A13_biSphComNor1

\hat{A}^{\bar{\eta} \bar{\eta}} = f^{\bar{\eta} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{\eta}} + f^{\bar{\eta} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{\eta}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\xi} X^{\xi} + 2 \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\bar{\eta}} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A22_biSphComNor1

\hat{A}^{\bar{\eta} \varphi} = f^{\bar{\eta} m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\bar{\eta}} = \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\bar{\eta}} =

A23_biSphComNor1

\hat{A}^{\varphi \varphi} = f^{\varphi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\varphi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} +2 \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A33_biSphComNor1

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que trataremos en el siguiente post.

La salida ahora para un tensor dos veces contravariante en la base ortonormal queda:

CovDerTen2SphCom1,

Para primera ecuación:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

definimos como antes

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

De esta manera, en nuestras coordenadas obtenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\bar{r}} V^{\bar{r}} + \mathcal{D}_{\theta} V^{\theta} + \mathcal{D}_{\varphi} V^{\varphi}) =

= \frac{3 - 3\bar{r} }{2a \bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} V^{\bar{r}} + 2 V^{\bar{r}} + \partial_{\theta} V^{\theta} + \cot \theta V^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} V^{\varphi} ],

donde

V^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi} ),

V^{\theta} = \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi} ),

V^{\varphi} = \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \theta} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ),

que desarrollando las covariantes quedan:

V^{\bar{r}} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

V^{\theta} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta}) + 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} - \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ] ),

V^{\varphi} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

que combinandolo con la anterior, queda (solo escribimos como empezaría debido a la longitud de la ecuación):

\Delta \Theta_\beta = \frac{3 - 3\bar{r} }{2a \bar{r}} \Big [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} [\frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) + \ldots ] + \ldots \Big ]

Finalmente, las ecuaciones:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} },

con las que procederemos de manera similar a como hemos hecho con las X^i, es decir, calculando las fuentes en una base, haciendo un cambio de base que las desacople (cartesianas), resolviendolas de manera independiente y volviendo a la base original:

S^i_\beta (\bar{r},\theta,\varphi) := 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}_i \Theta_{\beta},

que quedan:

S^{\bar{r}}_\beta= 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{r}} \Theta_\beta,

S^{\theta}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\theta} \Theta_\beta,

S^{\varphi}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta,

donde las derivadas covariantes del tensor dos veces contravariante:

T^{ij}:=\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}

son como acabamos de hacer en la ecuación anterior y las del escalar \Theta_\beta es como ya hicimos con las X^i:

S^{\bar{r}} = 2 V^{\bar{r}} - \frac{(1-\bar{r})^2}{3a} \partial_{\bar{r}} \Theta_{\beta},

S^{\theta} = 2 V^{\theta} - \frac{1-\bar{r}}{3a\bar{r}} \partial_{\theta} \Theta_{\beta},

S^{\varphi} = 2 V^{\varphi} - \frac{1-\bar{r}}{3a\bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \Theta_{\beta}.

Hacemos a continuación el cambio:

[S^{\bar{r}}(\bar{r},\theta,\varphi),S^{\theta}(\bar{r},\theta,\varphi),S^{\varphi}(\bar{r},\theta,\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [S^x(\bar{r},\theta,\varphi), S^y(\bar{r},\theta,\varphi), S^z(\bar{r},\theta,\varphi)],

y resolvemos:

\Delta \beta^{x} = S^{x}

\Delta \beta^{y} = S^{y}

\Delta \beta^{z} = S^{z},

deshaciendo el cambio:

[\beta^x(\bar{r},\theta,\varphi), \beta^y(\bar{r},\theta,\varphi), \beta^z(\bar{r},\theta,\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [\beta^{\bar{r}}(\bar{r},\theta,\varphi),\beta^{\theta}(\bar{r},\theta,\varphi),\beta^{\varphi}(\bar{r},\theta,\varphi)]

para terminar.

La salida ahora para un tensor dos veces contravariante en la base ortonormal queda:

CovDerTen2CarCom2,

Para primera ecuación:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

definimos como antes

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

De esta manera, en nuestras coordenadas obtenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\bar{x}} V^{\bar{x}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} V^{\bar{z}}) =

= \frac{3}{2} (\frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} V^{\bar{x}}+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} V^{\bar{z}}),

donde

V^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ),

que desarrollando las covariantes quedan:

V^{\bar{x}} = \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ).

Por tanto, combiando todo, tenemos:

\Delta \Theta_\beta =

= \frac{3 + 3cos(\pi \bar{x})}{2 a \pi} \partial_{\bar{x}} \big [ \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3 + 3 \cos (\pi \bar{y})}{2b \pi} \partial_{\bar{y}} \big [ \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3 + 3 \cos(\pi \bar{z})}{2c \pi} \partial_{\bar{z}} \big [ \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

\frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ) \big ],

Finalmente, las ecuaciones:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }.

son:

\Delta \beta^{\bar{x}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_\beta,

y al sustituir las derivadas covariantes:

\Delta \beta^{\bar{x}} = \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) - \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{3a \pi} \partial_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{z})}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) - \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{3b \pi} \partial_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) - \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{3c \pi} \partial_{\bar{z}} \Theta_\beta.

Copio a continuación la salida generada por nuestra función en Mathematica que nos calcula todas las derivadas covariantes de tensores con dos índices (aunque en este caso particular no es excesivamente laborioso, si lo es para el resto de entradas, por lo que evitaremos morir en el intento de pasarlas a latex 😉 ) . En particular, aquí lo hacemos para un vector dos veces contravariante y para la base ortonormal:

CovDerTen2CarCom1,

donde primer término corresponde al factor que acompaña a la derivada parcial y la matriz contiene los factores que acopañan a cada par de valores de los índices.

Vamos a ver ahora, en este caso, como quedan las ecuaciones del shift. Para la primera:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

como contraemos el índice j quedando libre únicamente el i, definimos

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

que nos ayudará a no liarnos, ya que ésta última queda como una derivada covariante de un vector donde éste, a su vez, lo calcularemos a parte como la derivada covariante de un tensor dos veces contravariante.

De esta manera, en nuestras coordenadas tenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\bar{x}} V^{\bar{x}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} V^{\bar{z}}) =

= \frac{3}{2} (\frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} V^{\bar{x}}+ \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} V^{\bar{z}}),

donde

V^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ),

que desarrollando las covariantes según lo encontrado al principio del post, quedan:

V^{\bar{x}} = \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ).

Por tanto, combiando todo, tenemos:

\Delta \Theta_\beta =

= \frac{3|\bar{x}^2-1|}{2a} \partial_{\bar{x}} \big [ \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) +

+ \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3|\bar{y}^2-1|}{2b} \partial_{\bar{y}} \big [ \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) +

+ \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3|\bar{z}^2-1|}{2c} \partial_{\bar{z}} \big [ \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

\frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) +

+ \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ) \big ],

Para terminar, nos quedan la ecuaciónes:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }.

En primer lugar, bajamos el índice de la derivada contravariante:

\mathcal{D}^{\bar{x}} \Theta_\beta = f^{\bar{x} i} \mathcal{D}_i \Theta_\beta = f^{\bar{x} \bar{x}} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta + f^{\bar{x} \bar{y}} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta + f^{\bar{x} \bar{z}} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_\beta = \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta,

y de la misma manera:

\mathcal{D}^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{y}} y \mathcal{D}^{\bar{z}} = \mathcal{D}_{\bar{z}}.

Así pues, lo que nos queda es:

\Delta \beta^{\bar{x}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_\beta,

que al sustituir las derivadas covariantes del tensor dos veces contravariante \hat{A}^{ab} y del escalar \Theta_\beta, por su valor calculado al principio del post, quedan:

\Delta \beta^{\bar{x}} = \frac{2|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{2|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) +

+ \frac{2|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) - \frac{|\bar{x}^2-1|}{3a} \partial_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = \frac{2|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{2|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) +

+ \frac{2|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) - \frac{|\bar{y}^2-1|}{3b} \partial_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = \frac{2|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

+ \frac{2|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) +

+ \frac{2|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) - \frac{|\bar{z}^2-1|}{3c} \partial_{\bar{z}} \Theta_\beta.

Solo referenciar este post de Francisco R. Villatoro sobre la demostración de Otelbaev del problema del milenio referente a las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ideas principales que comenta son:

  1. Se ha encontrado un contraejemplo (usuario “sup” de dxdy.ru + Stephen Montgomery-Smith + Terry Tao) al principal teorema del artículo, el teorema 6.1, lo que invalida completamente la demostración de Otelbaev.
  2. El matemático Terry Tao, en su artículo “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation“, demuestra que la técnica utilizada para atacar el problema no es suficiente, es decir, que no vamos a poder resolver nunca el problema con la técnica que utilizó Otelbaev.
  3. Parece que tenemos problema para rato, segun el propio Tao.

Para mas detalle, al post referido en el inicio de esta entrada 🙂

Compactificamos la primera coordenada mediante \boxed{r = \frac{a \bar{r}}{1 - \bar{r}}}.

El Laplaciano, con esta compactificación, queda:

\Delta = \frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r} \bar{r}} + \frac{2}{\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}} + \frac{(a - \bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta \theta} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \cot \theta \partial_{\theta} + \frac{(a - \bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2 } \csc \theta \partial_{\varphi \varphi}

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + \mathcal{D}_{\theta} S^*_{\theta} + \mathcal{D}_{\varphi} S^*_{\varphi} ) =

= 6 \pi \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} ( (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + 2 S^*_{\bar{r}} + \partial_{\theta} S^*_{\theta} + \cot \theta S^*_{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} S^*_{\varphi} )

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasando la derivada contravariante a covariante mediante la métrica, queda:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X.

Definimos ahora

S_X^i := 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

de manera que:

S_X^{\bar{r}} = 8 \pi f^{\bar{r} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{r} k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{r}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{r}} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{r}} - \frac{(1-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} \Theta_X,

S_X^{\theta} = 8 \pi f^{\theta j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\theta k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\theta} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\theta} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\theta} - \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} \Theta_X,

S_X^{\varphi} = 8 \pi f^{\varphi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\varphi k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \Theta_X.

En este punto tenemos que el vector

(S_X^{\bar{r}}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{\theta}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{\varphi}(\bar{r},\partial_\theta,\partial_\varphi))

expresado en la base \{ \partial_{\bar{r}}, \theta, \varphi \}. Lo que hacemos ahora es expresar este vector en la nueva base \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \}, de manera que obtenemos

(S_X^{x}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{y}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{z}(\bar{r},\theta,\varphi)).

y como es esta base las ecuaciones están desacopladas y \Theta_X es un campo escalar, resolvemos independientemente:

\Delta X^{x} = S_X^{x},

\Delta X^{y} = S_X^{y},

\Delta X^{z} = S_X^{z}.

Finalmente, con el cambio de base inverso, calculamos a partir de (X^{x},X^{y},X^{z}) el vector (X^{\bar{r}},X^\theta,X^\varphi) .

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{r}} + f^{\bar{r} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3a\bar{r}} [ 2(\bar{r}-\bar{r}^2)\partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - 2 X^{\bar{r}} - \partial_{\theta} X^{\theta} - \cot \theta X^{\theta} - \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} ]

\hat{A}^{\bar{r} \theta} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\theta} + f^{\theta n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\theta} + \mathcal{D}_{\theta} X^{\bar{r}} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\theta} - X^{\theta} + \partial_{\theta} X^{\bar{r}} ],

\hat{A}^{\bar{r} \varphi} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\bar{r}} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\varphi} - X^{\varphi} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\bar{r}} ],

\hat{A}^{\theta \theta} = f^{\theta m} \mathcal{D}_m X^{\theta} + f^{\theta n} \mathcal{D}_n X^{\theta} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + 2 \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3 a \bar{r}} [ -(\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + X^{\bar{r}} + 2 \partial_{\theta} X^{\theta} - \cot \theta X^{\theta} - \csc \partial_{\varphi} X^{\varphi} ]

\hat{A}^{\theta \varphi} = f^{\theta m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\theta} = \mathcal{D}_{\theta} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\theta} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ \partial_{\theta} X^{\varphi} - \cot \theta X^{\varphi} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\theta} ],

\hat{A}^{\varphi \varphi} = f^{\varphi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\varphi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} +2 \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3 a \bar{r}} [ -(\bar{r} - \bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + X^{\bar{r}} - \partial_{\theta} X^{\theta} + 2 \cot \theta X^{\theta} + 2 \csc \theta \partial_{\varphi} T^{\varphi} ]

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que lo tratamos en este post.

Los cálculos para cilíndricas, esféricas, esféricas compactificadas y cartesianas compactificadas ya están términados. Para hacer una pequeña comprobación de que son correctos, vamos a calcular, en cada caso, como quedaría la divergencia de un campo vectorial \mathcal{D}_i X^i utilizando las derivadas covariantes encontrados en los enlaces anteriores y compararla con el resultado que obtendriamos utilizando la fórmula para la divergencia en coordenadas curvilineas q^i:

\nabla \cdot \mathbf{X} = \frac{1}{\Pi_j h_j} \frac{\partial}{\partial q^i} (X^i \Pi_{j \neq i} h_j).

\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_z \}

\mathcal{D}_i X^i = \mathcal{D}_r X^r + \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} + \mathcal{D}_{z} X^{z} = \partial_r X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \frac{1}{r} X^{\theta} + \partial_z X^z,

\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \partial_z \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_r X^r + \frac{1}{r} \partial_{\theta} X^{\theta} + \frac{1}{r} X^{\theta} + \partial_z X^z,

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCyl

\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_r X^r + \frac{2}{r} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{r} \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1}{r} \big [ r \partial_r X^r + 2 X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSph

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{r}} X^r + \frac{1+\bar{r}}{1-\bar{r}} \frac{2}{\bar{r}} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} \big [ (\bar{r} - \bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^r + 2 X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom1

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{r}} X^r + \frac{4 \bar{r}}{(1-\bar{r})^2 \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{1-\bar{r}^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r} } \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} \big [ (1-\bar{r}^2) \, \mbox{arctanh} \, \bar{r} \partial_{\bar{r}} X^r + 2 X^r +

+ \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom2

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\partial_{\bar{r}} X^r + ( \pi \tan \frac{\pi \bar{r}}{2} + 2 \pi \csc (\pi \bar{r} ) ) X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{r})}{a \pi} \partial_{\bar{r}} , \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \partial_{\theta} , \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \csc \theta \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \big [ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{r} ) }{\bar{r}} \tan \frac{\pi \bar{r}}{2} \partial_{ \bar{r} } X^r + 2 X^r +

+ \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom3

\{ \partial_{\bar{x}} , \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{2 \bar{x}}{1-\bar{x}^2} X^{\bar{x}} + \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{2 \bar{y}}{1-\bar{y}^2} X^{\bar{y}} + \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}} + \frac{2 \bar{z}}{1-\bar{z}^2} X^{\bar{z}},

\{ \frac{|\bar{x}^2 -1|}{a} \partial_{\bar{x}} , \frac{|\bar{y}^2 -1|}{b} \partial_{\bar{y}}, \frac{|\bar{z}^2 -1|}{c} \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{|\bar{x}^2 -1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{|\bar{y}^2 - 1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{|\bar{z}^2 - 1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}},

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCarCom1

\{ \partial_{\bar{x}} , \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{x}}{2} X^{\bar{x}} + \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{y}}{2} X^{\bar{y}} + \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{z}}{2} X^{\bar{z}}

\{ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{x} ) }{a \pi} \partial_{\bar{x}} , \frac{1 + \cos ( \pi \bar{y} ) }{b \pi} \partial_{\bar{y}}, \frac{1 + \cos ( \pi \bar{z} ) }{c \pi} \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1 + \cos ( \pi \bar{x} ) }{a \pi} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{1 + \cos ( \pi \bar{y} ) }{b \pi} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{1 + \cos ( \pi \bar{z} ) }{c \pi} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}},

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCarCom2

Considerando las dos bases, holonómica y ortonormal, para el espacio tangente introducidas en este post:

\{ e_i \} = \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \},

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}\partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \},

tenemos que:

\hat{e}_1 = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}e_1, \hat{e}_2 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} e_2 y \hat{e}_3 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta e_3,

y, por tanto:

A_{\hat{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \end{array}  \right) i A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc}  \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} \sin \theta  \end{array}  \right).

Vamos a encontrar la expresión de las derivadas covariante en la base normalizada mediante cambios de base. Antes de empezar, dos consideraciones: en primer lugar, T^i y T^{\hat{i}} son tensores una vez contravariante, o lo que es lo mismo, son campos vectoriales. Por la linealidad de la conexión, podemos centrarnos en la derivada covariante de los elementos de la base. En segundo lugar, las derivadas parciales no afectan a los escalares, que están sobre la variedad y no en el espacio tangente.

Empezamos:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

\partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}}(\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} =

= -\frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

con lo que:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}}}.

Para:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

\partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta}) + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}} T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}}) + \frac{a}{a\bar{r} -\bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}} =

= \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = -\frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

tenemos:

\frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} \Leftrightarrow \boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}}}

Procediendo de la misma manera, obtenemos:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} - T^{\hat{\theta}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} + T^{\hat{\bar{r}}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} - \sin \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} - \cos \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} + \sin \theta T^{\hat{\bar{r}}} + \cos \theta T^{\hat{\theta}} }.

Vamos a expresar las ecuaciones covariantes de la aproximación CFC en las coordenadas \bar{r}, \theta, \varphi a las que llamaremos esféricas compactificadas, puesto que son coordenadas esféricas donde la coordenada radial r la hemos cambiado por la coordenada \bar{r} cuyo dominio [0,1] es compacto:

r=\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}}.

Como teniamos:

\phi_1(r,\theta,\varphi) = r (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (r,\theta,\varphi) \in [0,+\infty[ \times [0,\pi] \times [0,2\pi],

y ahora tenemos:

\phi_2(\bar{r},\theta,\varphi) = (\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}},\theta,\varphi),

entonces:

\phi_1 \circ \phi_2 =: \phi(\bar{r},\theta,\varphi) = \frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}} (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (\bar{r},\theta,\varphi) \in [0,1] \times [0,\pi] \times [0,2\pi].

Ahora, llamando a nuestra función \phi en Mathematica obtenemos los coeficientes de Laplaciano, la métrica y los inversos de los coeficientes de Lamé :

esfericasCompactificadas.

El operador Laplaciano queda:

\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}\bar{r}} + \frac{2}{\bar{r}}\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta \theta} + \cot \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta} + \csc \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\varphi \varphi},

la métrica queda:

\frac{a^4}{(a-\bar{r})^4} d\bar{r} \otimes d\bar{r} + \frac{a^2 \bar{r}^2}{(a-\bar{r})^2} d\theta \otimes d\theta + \frac{a^2 \bar{r}^2 \sin^2 \theta}{(a-\bar{r})^2} d\varphi \otimes d\varphi,

en la base coordenada \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\} para la variedad tangente.

En este punto, y utilizando los coeficientes de Lamé, podemos construir una tetrada ortonormal con la que trabajaremos:

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{r}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_\theta, \csc \theta \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\varphi}\}.

Los símbolos de Christofel, calculados con nuestra función Mathematica, son:

ChristoffelEC,

\Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\bar{r} \bar{r}} = \frac{2}{a-\bar{r}},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\theta \theta}=\frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\varphi \varphi} = \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a}\sin^2 \theta,

\Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\bar{r} \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\theta \bar{r}} = \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\varphi\varphi} = -\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\bar{r}\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \bar{r}}= \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\theta\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\varphi \theta} = \cot \theta,

Por lo que las derivadas covariantes de un tensor una vez contravariante quedan, gracias a otra función que tenemos programada:

CDEC,

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta}

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\varphi} = \partial_{\bar{r}} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\bar{r}} = \partial_{\theta} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a} T^{\theta},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\theta} = \partial_{\theta} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\varphi} = \partial_{\theta} T^{\varphi} + \cot \theta T^{\varphi} ,

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\bar{r}} = \partial_{\varphi} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)\sin^2 \theta}{a} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\theta} = \partial_{\varphi} T^{\theta} - \sin \theta \cos \theta T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\varphi} = \partial_{\varphi} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}} + \cot \theta T^{\theta},

Las ecuaciones de la aproximación CFC de las ecuaciones de Einstein en el formalismo 3+1 expresadas de forma covariante son:

\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j X^j),

\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} \psi^{-7},

\Delta (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{f_{il} f_{im} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} (\alpha \psi),

\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j \beta^j),

donde \hat{A}^{ij} \approx (LX)^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}.

En coordenadas cartesianas, (x,y,z), tenemos:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^x = 8 \pi S_x^* - \frac{1}{3} \partial_{xx} X^x,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^y = 8 \pi S_y^* - \frac{1}{3} \partial_{yy} X^y,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^z = 8 \pi S_z^* - \frac{1}{3} \partial_{zz} X^z,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^x = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^x (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^y = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^y (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^z = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^z (\mathcal{D}_j \beta^j),

con

\hat{A}^{xx} = \partial_x X^x + \partial_x X^x - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{xx},

\hat{A}^{xy} = \partial_x X^y + \partial_y X^x,

\hat{A}^{xz} = \partial_x X^z + \partial_z X^x,

\hat{A}^{yy} = \partial_y X^y + \partial_y X^y - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{yy},

\hat{A}^{yz} = \partial_y X^z + \partial_z X^y,

\hat{A}^{zz} = \partial_z X^z + \partial_z X^z - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{zz},

y

As:=(A^{xx})^2+(A^{xy})^2+(A^{xz})^2+(A^{yy})^2+(A^{yz})^2+(A^{zz})^2.

En coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), las ecuaciones quedan:

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^r =

= 8 \pi f^{r j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\theta =

= 8 \pi f^{\theta j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\varphi =

= 8 \pi f^{\varphi j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) (\alpha \psi) =

= 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^r =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{r j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\theta =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\varphi =

\mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j \beta^j),

con:

\hat{A}^{rr} = \mathcal{D}^r X^r + \mathcal{D}^r X^r - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{rr},

\hat{A}^{r\theta} = \mathcal{D}^r X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^r,

\hat{A}^{r\varphi} = \mathcal{D}^r X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^r,

\hat{A}^{\theta\theta} = \mathcal{D}^\theta X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^\theta - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\theta\theta},

\hat{A}^{\theta\varphi} = \mathcal{D}^\theta X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\theta,

\hat{A}^{\varphi\varphi} = \mathcal{D}^\varphi X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\varphi - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\varphi\varphi},

y

As:=(A^{rr})^2+(A^{r\theta})^2+(A^{r\varphi})^2+(A^{\theta\theta})^2+(A^{\theta\varphi})^2+(A^{\varphi\varphi})^2.

Repasando las ultimas entradas en las que realizaba cambios de variables, me he dado cuenta que, en algunos casos, aunque desde el punto de vista de los cambios de coordenadas dados, los Laplacianos son correctos, en realidad los referentes a compactificaciones no corresponden a éstas sino a sus inversas… 😦

A ver si me explico. Desde el punto de vista de las variedades, podemos pensar un cambio de variable como una carta. Por ejemplo, si queremos trabajar en esféricas, pensamos que la variedad es \mathbb{R}^n en coordenadas esféricas y necesitamos una carta que nos la lleve a \mathbb{R}^n en cartesianas. Y aquí esta el asunto, que necesito cartas y no parametrizaciones. En superficies se suele trabajar con parametrizaciones, pero en variedades es mas fácil trabajar con sus inversas: las cartas.

Cuando pensamos en el cambio a esféricas, por ejemplo, necesitamos una carta, es decir, una función \phi(r,\theta,\varphi) que nos devuelva las correspondientes coordenadas cartesianas:

(r,\theta,\varphi) \longrightarrow (x,y,z)

x = r \sin \theta \cos \varphi

y = r \sin \theta \sin \varphi

z = r \cos \theta.

¿Qué pasa cuando queremos compactificar r? Necesitamos una función que, a partir de los valores de r \in \mathbb{R}^+ nos devuelva valores en [0,1]. Como ya escribimos, una posible función es:

\bar{r} = \frac{r}{r+a}

pero, volviendo a las cartas y a las parametrizaciones, lo que necesitamos, en realidad, es expresar r en función de \bar{r} y no lo contrario, como tenemos ahora, de manera que necesitamos calcular su inversa:

r = -\frac{\bar{r}a}{\bar{r}-1}

cartaR

de igual forma, para las demás compactificaciones tenemos:

\bar{x} = \tanh \frac{x}{a},

\bar{x} = \frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{a},

pero, al igual que antes, lo que nos interesan son sus inversas:

x = a\, \mbox{arctanh} \bar{x},

x = a \tan \frac{\pi \bar{x}}{2}:

invCom

 Utilizando las funciones que tenemos escritas en Mathematica, obtenemos para esféricas los siguientes Laplacianos con sus discretizaciones:

sphCom

y, para cartesianas:

carCom

Supongamos que tenemos el Laplaciano expresado en un sistema de coordenadas curvilineas cualesquiera:

\bigg [ c_1 \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + c_2 \frac{\partial}{\partial x_1} +c_3 \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + c_4 \frac{\partial}{\partial x_2} + c_5 \frac{\partial^2}{\partial x_3^2} + c_6 \frac{\partial}{\partial x_3} \bigg ] u(x_1,x_2,x_3).

La expresión correspondiente en diferencias finitas, utilizando las aproximaciones para las primeras y segundas derivadas de este post, nos queda:

c_{1_{i,j,k}}\frac{1}{h_{x_1}^2} (u_{i-1,j,k} - 2 u_{i,j,k} + u_{i+1,j,k}) + c_{2_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_1}}(u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}) +

+ c_{3_{i,j,k}}\frac{1}{h_{x_2}^2} (u_{i,j-1,k} - 2 u_{i,j,k} + u_{i,j+1,k}) + c_{4_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_2}}(u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}) +

+ c_{5_{i,j,k}}\frac{1}{h_{x_3}^2} (u_{i,j,k-1} - 2 u_{i,j,k} + u_{i,j,k+1}) + c_{6_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_3}}(u_{i,j,k+1}-u_{i,j,k-1}),

que, agrupando por términos, podemos reescribir como:

(c_{1_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{1}}^2} - c_{2_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_{1}}}) u_{i-1,j,k} + (c_{1_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{1}}^2} + c_{2_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_{1}}}) u_{i+1,j,k} +

+ (c_{3_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{2}}^2} - c_{4_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_{2}}}) u_{i,j-1,k} + (c_{3_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{2}}^2} + c_{4_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_{2}}}) u_{i,j+1,k} +

+ (c_{5_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{3}}^2} - c_{6_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_{3}}}) u_{i,j,k-1} + (c_{5_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{3}}^2} + c_{6_{i,j,k}} \frac{1}{2h_{x_{3}}}) u_{i,j,k+1} -

-2 (c_{1_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{1}}^2} + c_{3_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{2}}^2} + c_{5_{i,j,k}} \frac{1}{h_{x_{3}}^2}) u_{i,j,k}.

He escrito un modulo en Mathematica que, a partir de los coeficientes del Laplaciano y de las distancias para la discretización nos generan automáticamente estos coeficientes:

finDif

Los anteriores ejemplos corresponden al caso de cilíndricas, esféricas y esféricas compactificadas.

He escrito una función en Mathematica a la que le pasamos el cambio de coordenadas que queremos hacer, junto con el nombre de las variables, y nos devuelve una lista de los coeficientes que acompañan a cada una de las derivadas del Laplaciano, es decir, los seis elementos de la lista

\{ c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6 \},

que nos permiten escribir el correspondiente Laplaciano:

c_1 \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + c_2 \frac{\partial}{\partial x_1} + c_3 \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + c_4 \frac{\partial}{\partial x_2} + c_5 \frac{\partial^2}{\partial x_3^2} + c_6 \frac{\partial}{\partial x_3}.

Por ejemplo, para los cambios a cilíndricas y esféricas ya realizados en este post, nos queda:

CylShpLap

A continuación la he llamado con tres cambio diferentes, todos compactificando la r de las coordenadas esféricas, y los coeficientes obtenidos son:

compac_a1

Para el caso concreto de a=1, las gráficas de los cambios son:

compac_b

y las expresiones:

 compac_a2

Vamos a compactificar el operador Laplaciano en coordenadas esféricas y en coordenadas cartesianas:

(\bar{r}, \theta, \varphi) \longrightarrow (r,\theta,\varphi) \longrightarrow (x,y,z)

\phi(\bar{r},\theta,\varphi) = (\frac{\bar{r}}{\bar{r}+a} \sin \theta \cos \varphi, \frac{\bar{r}}{\bar{r}+a} \sin \theta \sin \varphi, \frac{\bar{r}}{\bar{r}+a} cos \theta)

de manera que, con la formula ya vista en este post, nos queda:

(\bar{r}+a)^2 \bigg [ \frac{(\bar{r}+a)^2}{a^2} \frac{\partial^2}{\partial \bar{r}^2} + \frac{2}{\bar{r}} \frac{(\bar{r}+a)^2}{a^2} \frac{\partial}{\partial \bar{r}} + \frac{1}{\bar{r}^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\cot \theta}{\bar{r}^2} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\csc^2 \theta}{\bar{r}^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \bigg ] u =

= f(x(\bar{r},\theta,\varphi),y(\bar{r},\theta,\varphi),z(\bar{r},\theta,\varphi)).

De la misma manera:

(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) \longrightarrow (x,y,z)

\phi(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) = (\tanh \frac{\bar{x}}{a}, \tanh \frac{\bar{y}}{b}, \tanh \frac{\bar{z}}{c})

de manera que:

\bigg [ a^2 \cosh^4 \frac{\bar{x}}{a} \frac{\partial^2}{\partial \bar{x}^2} + 2 a \cosh^3 \frac{\bar{x}}{a} \sinh \frac{\bar{x}}{a} \frac{\partial}{\partial \bar{x}} +

+ b^2 \cosh^4 \frac{\bar{y}}{a} \frac{\partial^2}{\partial \bar{y}^2} + 2 b \cosh^3 \frac{\bar{y}}{b} \sinh \frac{\bar{y}}{b} \frac{\partial}{\partial \bar{y}} +

+ c^2 \cosh^4 \frac{\bar{z}}{c} \frac{\partial^2}{\partial \bar{z}^2} + 2 c \cosh^3 \frac{\bar{z}}{c} \sinh \frac{\bar{z}}{c} \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \bigg ] u(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) = f(x(\bar{x}),y(\bar{y}),z(\bar{z}).

O, con el otro cambio:

(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) \longrightarrow (x,y,z)

\phi(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) = \frac{2}{\pi}(\arctan \frac{\bar{x}}{a}, \arctan \frac{\bar{y}}{b}, \arctan \frac{\bar{z}}{c})

de manera que:

\frac{\pi^2}{2} \bigg [\frac{(\bar{x}^2+a^2)^2}{2a^2} \frac{\partial^2}{\partial \bar{x}^2} + \frac{\bar{x}(\bar{x}^2+a^2)}{a^2} \frac{\partial}{\partial \bar{x}} +

+ \frac{(\bar{y}^2+b^2)^2}{2b^2} \frac{\partial^2}{\partial \bar{y}^2} + \frac{\bar{y}(\bar{y}^2+b^2)}{b^2} \frac{\partial}{\partial \bar{y}} +

+ \frac{(\bar{z}^2+c^2)^2}{2c^2} \frac{\partial^2}{\partial \bar{z}} + \frac{\bar{z}(\bar{z}^2+c^2)}{c^2} \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \bigg ] u(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) = f(x(\bar{x}),y(\bar{y}),z(\bar{z})

El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es:

\Delta u = \frac{\partial^2}{\partial x^2} u + \frac{\partial^2}{\partial y^2} u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u = \frac{\partial^2}{(\partial x^i)^2} u.

¿Qué pasa cuando queremos expresarlo en otro sistema de coordenadas curvilineas tal que

x=x(q^1,q^2,q^3) = x(q^i), y=y(q^i), z = z(q^i)

cualesquiera? Pues despues de un poco de trabajo, se puede llegar a la expresión:

\boxed{\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q^i} (\frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2} \frac{\partial}{\partial q^i} u)},

donde, si definimos el cambio de coordenadas

\boxed{\phi(q^i) := (x(q^i),y(q^i),z(q^i))},

tenemos que

\boxed{h_i = |\frac{\partial}{\partial q^i} \phi|}.

Para ver como funciona la formula, vamos a calcular el Laplaciano en coordenadas cilíndricas y en esféricas.

En el primer caso, tenemos que

\phi(r,\theta,z) = (r \cos \theta, r \sin \theta, z) con

r \in \mathbb{R}^+, \theta \in [0,2 \pi], z \in \mathbb{R},

por lo que tenemos

h_r = | \frac{\partial}{\partial r} \phi| = \sqrt{(\cos \theta, \sin \theta, 0) \cdot (\cos \theta, \sin \theta, 0)} = 1,

h_\theta = |\frac{\partial}{\partial \theta} \phi| = \sqrt{(-r \sin \theta, r \cos \theta, 0) \cdot (-r \sin \theta, r \cos \theta, 0)} = r,

h_z = |\frac{\partial}{\partial z} \phi| = \sqrt{(0,0,1) \cdot (0,0,1)} = 1.

y entonces, al aplicar nuestra fórmula, obtenemos:

\frac{1}{r} \bigg [ \frac{\partial}{\partial r} ( r \frac{\partial}{\partial r} u ) + \frac{\partial}{\partial \theta} ( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} u ) + \frac{\partial}{\partial z} ( r \frac{\partial}{\partial z} u ) \bigg ] =

= \frac{1}{r} (1 \frac{\partial}{\partial r} + r \frac{\partial^2}{\partial r^2}) u + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u =

= \boxed{\frac{\partial^2}{\partial r^2} u + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} u + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u}.

Ahora, en el caso de esféricas, tenemos:

\phi(r,\theta,\varphi) = (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) con

r \in \mathbb{R}^+, \theta \in [0,\pi] y \varphi \in [0,2\pi],

de manera que (el cuadrado hace referencia al producto escalar):

h_r = |\frac{\partial}{\partial r} \phi| = \sqrt{(\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)^2} =

= \sqrt{\sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + \cos^2 \theta} = 1

h_\theta = |\frac{\partial}{\partial \theta} \phi| = \sqrt{(r \cos \theta \cos \varphi, r \cos \theta \sin \varphi, - r \sin \theta)^2} =

= \sqrt{r^2 \cos^2 \theta \cos^2 \varphi + r^2 \cos^2 \theta \sin^2 \varphi + r^2 \sin^2 \theta} = r

h_\varphi = |\frac{\partial}{\partial \varphi} \phi| = \sqrt{(-r \sin \theta \sin \varphi,r \sin \theta \cos \varphi,0)^2} =

= \sqrt{r^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + r^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + 0} = r \sin \theta,

por lo que, con la fórmula, tenemos:

\frac{1}{r^2 \sin \theta} \bigg [ \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}u) + \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}u) + \frac{\partial}{\partial \varphi} (\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}u) \bigg ] =

= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \frac{\partial}{\partial r}u) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}u) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} u =

= \frac{1}{r^2}(2r \frac{\partial}{\partial r} + r^2 \frac{\partial^2}{\partial r^2})u + \frac{1}{r^2 \sin \theta}(\cos \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \sin \theta \frac{\partial^2}{\partial \theta^2})u + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}u =

=\boxed{ \frac{\partial^2}{\partial r^2}u + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}u + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}u + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta}u + \frac{\csc^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}u}

psiAlpha

phiAlpha1

psiAlpha2

psiAlpha3

El caso mas sencillo es cuando tenemos cinco puntos:

(x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4),

de manera que:

x_1-x_0 = 2(x_2-x_1) = 2(x_3-x_2) = x_4-x_3.

Tal y como escribimos en el anterior post, el polinomio general para cinco puntos quedaria:

L(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x) + y_2 l_2(x) + y_3 l_3(x) + y_4 l_4(x),

donde:

l_0(x) = \frac{x-x_1}{x_0-x_1} \frac{x-x_2}{x_0-x_2} \frac{x-x_3}{x_0-x_3} \frac{x-x_4}{x_0-x_4},

l_1(x) = \frac{x-x_0}{x_1-x_0} \frac{x-x_2}{x_1-x_2} \frac{x-x_3}{x_1-x_3} \frac{x-x_4}{x_1-x_4},

l_2(x) = \frac{x-x_0}{x_2-x_0} \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \frac{x-x_3}{x_2-x_3} \frac{x-x_4}{x_2-x_4},

l_3(x) = \frac{x-x_0}{x_3-x_0} \frac{x-x_1}{x_3-x_1} \frac{x-x_2}{x_3-x_2} \frac{x-x_4}{x_3-x_4},

l_4(x) = \frac{x-x_0}{x_4-x_0} \frac{x-x_1}{x_4-x_1} \frac{x-x_2}{x_4-x_2} \frac{x-x_3}{x_4-x_3}.

Dado que tratamos de aproximar la segunda derivada, tenemos, en el caso de equidistancia quedaría:

\frac{d^2}{dx^2}u_i = \frac{-u_{i-2}+16u_{i-1}-30u_i+16u_{i+1}-u_{i+2}}{12 h^2}.

Vamos a ver que queda ahora en nuestro caso. Reescribimos los l_i(x) en función de x_0 de manera que, por ejemplo, tenemos:

l_0(x) = \frac{x-x_1}{x_0-x_1} \frac{x-x_2}{x_0-x_2} \frac{x-x_3}{x_0-x_3} \frac{x-x_4}{x_0-x_4} =

=\frac{x-x_0-2h}{x_0-x_0-2h} \frac{x-x_0-3h}{x_0-x_0-3h} \frac{x-x_0-4h}{x_0-x_0-4h} \frac{x-x_0-6h}{x_0-x_0-6h} =

=\frac{(x-x_0-2h)(x-x_0-3h)(x-x_0-4h)(x-x_0-6h)}{144h^4},

que para x=x_2=x_0+3h (2h+h), la segunda derivada queda:

\frac{d^2}{dx^2} l_0(x) |_{x=x_2} = -\frac{1}{72h^2}.

Haciendo lo mismo para todas las derivadas segundas de todos los l_i(x), obtenemos la siguiente formula en diferencias finitas:

\frac{d^2}{dx^2}u_i = \frac{-u_{i-3} + 81 u_{u-1} - 160 u_i + 81 u_{i+1} - u_{i+3}}{72h^2},

donde los índices hacen referencia a una malla inicial equiespaciada.

Para el mismo denominador, antes teniamos:

\frac{d^2}{dx^2}u_i = \frac{-6u_{i-2}+96u_{i-1}-180u_i+96u_{i+1}-6u_{i+2}}{72 h^2}.

Podemos hacer lo mismo para cada uno de los puntos x=x_0, x=x_1=x_0+2h, x=x_3=x_0+4h y x=x_4=x_0+6h:

\frac{d^2}{dx^2}u_{i-3} = \frac{40 u_{i-3} -243 u_{i-1} + 352 u_i -162 u_{i+1} + 13 u_{i+3}}{36 h^2}

\frac{d^2}{dx^2}u_{i-2} = \frac{7 u_{i-3} - 32 u_i + 27 u_{i+1} - 2 u_{i+3}}{36 h^2}

\frac{d^2}{dx^2}u_{i+1} =\frac{-2 u_{i-3} + 27 u_{i-1} - 32 u_i -+7 u_{i+3}}{36 h^2}

\frac{d^2}{dx^2}u_{i+3} =\frac{13 u_{i-3} -162 u_{i-1} + 352 u_i -243 u_{i+1} + 40 u_{i+3}}{36 h^2}

 En el caso de x=x_0+4h (3h+h), tenemos:

\frac{d^2}{dx^2}u_i = \frac{-u_{i-4} + 256_{u-1} - 510 u_i + 256 u_{i+1} - u_{i+4}}{140h^2}.

Dados n+1 puntos:

(x_0,y_0), \ldots, (x_n,y_n),

definimos el polinomio interpolador de Lagrange:

L(x) := \Sigma_{i=0}^n y_i l_i(x)

donde:

l_i(x) := \Pi_{0 \leq j \leq n,j \neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.

Con esto, tenemos:

\frac{d^n}{dx^n}L(x) = \Sigma_{i=0}^n y_i \frac{d^n}{dx^n}l_i(x)

Supongamos que tenemos n=2:

(x_0,y_0), (x_1,y_1).

En este caso, tenemos:

L(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x)

con:

l_0(x) = \frac{x-x_1}{x_0-x_1}

l_1(x) = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}

Como tenemos dos puntos, únicamente podemos aproximar la primera derivada:

\frac{d}{dx} L(x) = y_0 \frac{d}{dx} l_0(x) + y_1 \frac{d}{dx} l_1(x)

con:

\frac{d}{dx} l_0(x) = \frac{1}{x_0-x_1}

\frac{d}{dx} l_1(x) = \frac{1}{x_1-x_0},

de manera que:

\frac{d}{dx}L(x) = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.

Con esto, tenemos las aproximaciones de primer orden:

u_x(x_0) = u_x(x_1) = \frac{y_1 - y_0}{x_1-x_0},

que, en índices, queda:

\frac{d}{dx}u_i \approx \frac{u_{i+1}-u_i}{h_x},

\frac{d}{dx}u_{i+1} \approx \frac{u_{i+1}-u_i}{h_x},

donde h_x = x_1 - x_0 (y que es lógico, ya que la derivada será una constante).

Supongamos ahora que tenemos tres puntos:

(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2).

En este caso tenemos:

L(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x) + y_2 l_2(x),

\frac{d}{dx} L(x) = y_0 \frac{d}{dx} l_0(x) + y_1 \frac{d}{dx} l_1(x) + y_2 \frac{d}{dx} l_2(x),

\frac{d^2}{dx^2} L(x) = y_0 \frac{d^2}{dx^2} l_0(x) + y_1 \frac{d^2}{dx^2} l_1(x) + y_2 \frac{d^2}{dx^2} l_2(x).

Ahora tenemos:

l_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} = \frac{x^2 + (-x_1-x_2)x + x_1x_2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},

l_1(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} = \frac{x^2 + (-x_0-x_2)x + x_0x_2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},

l_2(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} = \frac{x^2 + (-x_0-x_1)x + x_0x_1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.

\frac{d}{dx} l_0(x) = \frac{2x + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},

\frac{d}{dx} l_1(x) = \frac{2x+(-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},

\frac{d}{dx} l_2(x) = \frac{2x+(-x_0-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.

\frac{d^2}{dx^2} l_0(x) = \frac{2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},

\frac{d^2}{dx^2} l_1(x) = \frac{2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},

\frac{d^2}{dx^2} l_2(x) = \frac{2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.

De esta manera, por ejemplo, tenemos que:

\frac{d^2}{dx^2}L(x) = y_0 \frac{2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)},

que, en el caso de tener los puntos equiespaciados (h_x:=x_{i+1}-x_{i} con 0 \leq i \leq 1), queda la aproximación de segundo orden:

\frac{d^2}{dx^2}u(x) = \frac{y_0 - 2 y_1 + y_2}{h_x^2},

que además, como era de esperar, es independiente de x:

\frac{d^2}{dx^2}u_{i-1} \approx \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h_x^2},

\frac{d^2}{dx^2}u_i \approx \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h_x^2},

\frac{d^2}{dx^2}u_{i+1} \approx \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h_x^2}.

¿Qué pasa con la primera derivada? En este caso, el resultado si que depende de x (por lo que tendremos un resultado diferente en función de si la x vale x_0, x_1 o x_2) y lo que obtenemos es:

\frac{d}{dx} L(x) = y_0 \frac{2x + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{2x + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{2x + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)},

por lo que:

\frac{d}{dx} L(x_0) = y_0 \frac{2x_0 + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{2x_0 + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{2x_0 + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}

\frac{d}{dx} L(x_1) = y_0 \frac{2x_1 + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{2x_1 + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{2x_1 + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}

\frac{d}{dx} L(x_2) = y_0 \frac{2x_2 + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{2x_2 + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{2x_2 + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)},

que, con equiespaciado, quedan:

L'(x_0) = \frac{3 y_0 -4 y_1 + y_2}{2 h_x},

L'(x_1) = \frac{y_0 -2 y_1 + y_2}{2 h_x} y

L'(x_2) = \frac{y_0 -4 y_1 + 3 y_2}{2 h_x}.

Laplaciano en cartesianas:

\Delta u = \Sigma_i \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u

1d

\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} = f_i

\frac{1}{h^2}u_{i-1} + \frac{1}{h^2}u_{i+1} +\frac{-2}{h^2}u_i= f_i

2d

\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h_x^2} + \frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{h_y^2} = f_{i,j}

i fijo:

\frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1} + \frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j})

j fijo:

\frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j} + \frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1})

3d

\frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2} = f_{i,j,k}

i,j fijos:

\frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k+1} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k})

i,k fijos:

\frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})

j,k fijos:

\frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})

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