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Para una tríada (tétrada) \{ \hat{e}_i \}, podemos calcular sus coeficientes de estructura c_{ij}^{\phantom{ij}k}: escribimos su corchete de Lie en función de los elementos de la tríada (tétrada):

[\hat{e}_i, \hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k.

En el caso de la tríada (tétrada) correspondiente a las esféricas normalizadas:

\{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \},

tenemos:

[\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}] = -[\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}] =

= \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) \partial_{\theta} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} (\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}) \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [\partial_{\bar{r}},\partial_{\theta}] =

-\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\theta},

[\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}] = - [\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}, \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}] =

= \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta) \partial_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} (\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}) \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [\partial_{\bar{r}},\partial_{\theta}] =

= -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\varphi},

[\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}] = - [\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}] =

= \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} ( \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta ) \partial_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} ) \partial_{\theta} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [\partial_{\theta} ,\partial_{\varphi}] =

= -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \hat{e}_{\varphi}.

De esta manera, tenemos:

[\hat{e}_{\bar{r}}, \hat{e}_{\theta}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\theta} = c_{\hat{\bar{r}}\hat{\theta}}^{\phantom{r \theta} \hat{\theta}} = -c_{\hat{\theta} \hat{\bar{r}}}^{\phantom{\theta r} \hat{\theta}},

[\hat{e}_{\bar{r}}, \hat{e}_{\varphi}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\varphi} = c_{\hat{\bar{r}}\hat{\varphi}}^{\phantom{r \varphi} \hat{\varphi}} = -c_{\hat{\varphi} \hat{\bar{r}}}^{\phantom{\varphi r} \hat{\varphi}},

[\hat{e}_{\theta}, \hat{e}_{\varphi}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \hat{e}_{\varphi} = c_{\hat{\theta}\hat{\varphi}}^{\phantom{\theta \varphi} \hat{\varphi}} = -c_{\hat{\varphi} \hat{\theta}}^{\phantom{\varphi \theta} \hat{\varphi}},

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En este post ya calculamos los corchetes de Lie para los elementos de la base \{ \hat{e}_i\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi \}. Vamos a calcular ahora los coeficientes de conmutacion c_{ijk} (todas las r, \theta, \varphi que aparecen a continuación son \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}).

Como [\hat{e}_i,\hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k, entonces:

[\hat{e}_1,\hat{e}_2] = c_{12}^{\phantom{12}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_2 \rightarrow c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r} = -c_{\theta r}^{\phantom{r \theta} \theta}

[\hat{e}_1,\hat{e}_3] = c_{13}^{\phantom{13}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r} = -c_{\varphi r}^{\phantom{r \varphi} \varphi}

[\hat{e}_2,\hat{e}_3] = c_{23}^{\phantom{23}m} \hat{e}_m = -\frac{\cot \theta}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r} = -c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi}

Vamos a calcular ahora los tres coeficientes de rotación de Ricci que, por tener indices covariantes diferentes, podrían no ser simétricos en la base ortonormal, cuando si lo son en una holonómica. Empezamos por los correspondientes a los Christoffel \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r}:

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta r \theta} + c_{\theta \theta r} - c_{r \theta \theta}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\theta r \theta} = \eta_{\theta i} c_{\theta r}^{\phantom{\theta r}i} = c_{\theta r}^{\phantom{\theta r} \theta} = \frac{1}{r}

c_{\theta \theta r} = \eta_{r i} c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta}i} = c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta} r} = 0

c_{r \theta \theta} = \eta_{\theta i} c_{r \theta}^{\phantom{r \theta}i} = c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta \theta r} + c_{\theta r \theta} - c_{\theta r \theta}) = \frac{1}{2} c_{\theta \theta r} = 0

y vemos que, efectivamente, ahora no son simétricos. Seguimos con los correspondientes a \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r}:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi r \varphi} + c_{\varphi \varphi r} - c_{r \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\varphi r \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r}i} = c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r} \varphi} = \frac{1}{r}

c_{\varphi \varphi r} = \eta_{r i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} r} = 0

c_{r \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi}i} = c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi r} + c_{\varphi r \varphi} - c_{\varphi r \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi r} = 0

Finalmente, los últimos que pierden su simetría son:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \theta \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \theta \varphi} + c_{\varphi \varphi \theta} - c_{\theta \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{\cot \theta}{r} + \frac{\cot \theta}{r}) = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \theta \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta}i} = c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi} = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \varphi \theta} = \eta_{\theta i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} \theta} = 0

c_{\theta \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi}i} = c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi \theta} + c_{\varphi \theta \varphi} - c_{\varphi \theta \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi \theta} = 0

Existe una manera alternativa de realizar todos estos cálculos, que dejaremos para un futuro post, utilizando las formas de conexión, las ecuaciones de estructura de Cartan asumiendo torsión nula y la derivada exterior.

Ya comentamos aquí la diferencia entre una base coordenada, por ejemplo \{\partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}, y una no coordenada, por ejemplo \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi \}, respecto del cálculo de los símbolos de su conexión de Levi-Civita (la derivación covariante libre de torsión derivada de su métrica 🙂 ).

También aquí calculé el corchete de Lie en algunos casos concretos. Recordar de éste dos cuestiones importantes:

  1. el corchete de Lie de campos coordenados es nulo,
  2. se puede demostrar que si g,h \in C^\infty(M) y X,Y \in \mathfrak{X}(M) entonces:

[gX,hY] = gX(h)Y - hY(g)X + gh[X,Y].

Vamos a calcularlo ahora para los elementos de la base ortonormal en esféricas, que ya hemos dicho que no es holonómica:

[\partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta] = 1 \partial_r(\frac{1}{r}) \partial_\theta - \frac{1}{r} \partial_\theta(1) \partial_r + 1\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_r, \partial_\varphi] = -\frac{\csc \theta}{r^2}

= -\frac{1}{r^2} \partial_\theta - \frac{1}{r} 0 \partial_r + \frac{1}{r} 0 = -\frac{1}{r^2} \partial_\theta = -[\frac{1}{r} \partial_\theta, \partial_r],

[\partial_r, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi] = 1 \partial_r(\frac{1}{r \sin \theta}) \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi(1) \partial_r + 1\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_r, \partial_\varphi] = -\frac{\csc \theta}{r^2} \partial_\varphi,

[\frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi] = \frac{1}{r} \partial_\theta (\frac{1}{r \sin \theta}) \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi (\frac{1}{r}) \partial_\theta + \frac{1}{r}\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_\theta, \partial_\varphi] =

= \frac{1}{r} \frac{-\csc \theta \cot \theta}{r} \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} 0 \partial_\theta + \frac{1}{r}\frac{1}{r \sin \theta} 0 = -\frac{\csc \theta \cot \theta}{r^2} \partial_\varphi.

Los resultados presentados en este post son incorrectos 😦 .

El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero:

[e_i,e_j] = 0 si i \neq j.

Pero si la base no es holonómica, entonces la definición incorpora tres términos más, los coeficientes de conmutación de la base, y llamamos a los símbolos coeficientes de la conexión. Si la base es ortonormal, estos reciben el nombre de coeficientes de rotación de Ricci.

Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos (M,g), donde M es una variedad diferencial abstracta y g es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

Realizaremos algunos cálculos típicos en variedades diferenciables. Para ello, vamos a suponer que tenemos el campo vectorial

X = -4y \frac{\partial}{\partial x} + 9x \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z} \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3)

y el campo vectorial

Y=-\frac{\partial}{\partial y} + 3x \frac{\partial}{\partial z} \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3).

Tenemos tambien la 1-forma \alpha = 2xy dz - z dx. En este caso trabajamos con la variedad M = \mathbb{R}^3 (en física los escribiríamos X(x,y,z) = (-4y,9x,1) o \vec{Y}=(0,-1,3x)).

Empezaremos calculando un corchete de Lie. ¿Cómo queda el cálculo de [X,Y]? Si escribimos el corchere con los campos concretos nos queda:

[X,Y] = [-4y \frac{\partial}{\partial x} + 9x \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z},-\frac{\partial}{\partial y} + 3x \frac{\partial}{\partial z}].

Lo primero que hacemos es aplicar que el corchete de Lie es bilineal, por lo que la expresión anterior queda:

[-4y \frac{\partial}{\partial x},-1 \frac{\partial}{\partial y} ] + [-4y \frac{\partial}{\partial x}, 3x \frac{\partial}{\partial z}] +

+ [9x \frac{\partial}{\partial y},-1 \frac{\partial}{\partial y}] + [9x \frac{\partial}{\partial y}, 3x \frac{\partial}{\partial z}] +

+ [1 \frac{\partial}{\partial z},-1 \frac{\partial}{\partial y}] + [1 \frac{\partial}{\partial z}, 3x \frac{\partial}{\partial z}]

Se puede demostrar que si g,h \in C^\infty(M) y X,Y \in \mathfrak{X}(M) entonces:

[gX,hY] = gX(h)Y - hY(g)X + gh[X,Y],

por lo que, si la aplicamos a nuestro caso concreto, nos queda:

-4y \frac{\partial(-1)}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} + 1 \frac{\partial (-4y)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} + (-4y)(-1)[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}] +

-4y \frac{\partial(3x)}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z} - 3x \frac{\partial (-4y)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial x} + (-4y)(3x)[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial z}] +

9x \frac{\partial(-1)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} + 1 \frac{\partial (9x)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} + (9x)(-1)[\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial }{\partial y}] +

9x \frac{\partial(3x)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} - 3x \frac{\partial (9x)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} + (9x)(3x)[\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}] +

1 \frac{\partial(-1)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} + 1 \frac{\partial (1)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} + (1)(-1)[\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial }{\partial y}] +

1 \frac{\partial(3x)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z} - 3x \frac{\partial (1)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z} + (1)(3x)[\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial }{\partial z}].

Realizando las derivadas parciales indicadas (\frac{\partial (-1)}{\partial x} =0, \frac{\partial (-4y)}{\partial y} = 4, …) y teniendo en cuenta que el corchete de Lie de campos coordenados es nula, nos queda:

[X,Y] = -4 \frac{\partial}{\partial x} -12y \frac{\partial}{\partial z} \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3).

Vamos a calculara ahora d\alpha. Para empezar, aprovechamos que es lineal, por lo que:

d\alpha = d(2xydz - zdx) = d(2xydz) - d(zdx)

y ahora aplicamos la definición del operador diferencial exterior a cada sumando:

d(2xy)\wedge dz - d(z) \wedge dx

finalmente, como la diferencial exterior sobre funciones es la diferencial ordinaria, aplicando las propiedades distributiva, antisimétrica y d^2=0, nos queda:

(2ydx + 2xdy) \wedge dz - dz \wedge dx =

2y \, dx \wedge dz + 2x \, dy \wedge dz + dx \wedge dz

Por lo, finalmente, nos queda:

d\alpha = 2y+1\,dx \wedge dz + 2x\,dy\wedge dz

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