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Solo referenciar este post de Francisco R. Villatoro sobre la demostración de Otelbaev del problema del milenio referente a las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ideas principales que comenta son:

  1. Se ha encontrado un contraejemplo (usuario “sup” de dxdy.ru + Stephen Montgomery-Smith + Terry Tao) al principal teorema del artículo, el teorema 6.1, lo que invalida completamente la demostración de Otelbaev.
  2. El matemático Terry Tao, en su artículo “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation“, demuestra que la técnica utilizada para atacar el problema no es suficiente, es decir, que no vamos a poder resolver nunca el problema con la técnica que utilizó Otelbaev.
  3. Parece que tenemos problema para rato, segun el propio Tao.

Para mas detalle, al post referido en el inicio de esta entrada 🙂

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En las Jornadas sobre los problemas del milenio celebradas en Barcelona del 1 al 3 de junio de 2011, Diego Córdoba dió una charla sobre el problema Clay de las ecuaciones de Navier-Stokes para la que escribió estas notas.

Un fluido es ideal si es incompresible, homogéneo  y perfecto.

La idea del problema consiste en determinar si:

…un fluido incompresible con energía finita puede desarrollar singularidades en tiempo finitos.

Mas formalmente, si consideramos un fluido viscoso (\nu > 0), homogéneo (\rho = 1) e incompresible (\nabla \cdot u = 0), tenemos:

u_t + u \cdot \nabla u = - \nabla p + \nu \Delta u + f con \nu >0, x \in \mathbb{R}^3, t \geq 0

\nabla \cdot u = 0

u(x,0) = u_0

donde cada partícula en el tiempo t está en la posición x = (x_1,x_2,x_3) del dominio que ocupa el fluido \Omega \subset \mathbb{R}^3, u(x,t) = (u_1(x,t), u_2(x,t), u_3(x,t)) es el campo de velocidades, p = p(x,t) son las presiones en el seno del fluido y \rho = \rho(x,t) es la densidad. Además, \nu = cte \geq 0 es la viscosidad y f la fuerza externa.

La fuerza exterior  debe verificar:

|\partial_x^\alpha\partial_t^m f| \leq C_{\alpha,k,m}(1+|x|+t)^{-k} para todo \alpha, k, m > 0

y el dato inicial las siguientes condiciones de regularidad:

|\partial_x^\alpha u_{0i}| \leq C_{\alpha,k}(1+|x|)^{-k} para todo \alpha, k > 0

Las soluciones (u,p) admisibles para x \in \mathbb{R}^3 estan o en C^{\infty}(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty)) con decaimiento en el infinito de la presión y de energía finita, es decir, \int_{\mathbb{R}^3} |u|^2 dx < \infty para todo t, o estan en C^{\infty}(\mathbb{T}^3 \times [0,\infty)) periódicas y la presión de media cero.

Sea u_0 satisfaciendo las condiciones de regularidad. El problema del Instituto Clay consiste, entonces, en determinar si siempre existen soluciones admisibles para u_0 o si existe algún caso en que no.

La hidrodinámica (HD) es la parte de la física que estudia la dinámica de los fluidos tanto incompresibles, los líquidos, como compresibles, los gases o los líquidos a alta presión (de hecho, todos los fluidos son compresibles, siendo la incompresibilidad una aproximación para simplificar las ecuaciones que describen su dinámica).

La magnetohidrodinámica (MHD) estudia la dinámica de fluidos conductores de electricidad en presencia de campos electromagnéticos. El conjunto de ecuaciones que describen la MHD son una combinación de las ecuaciones de Navier Stokes de la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo que deben ser resueltas simultaneamente.

Cuando tenemos flujos a velocidades cercanas a la velocidad de la luz entonces hablamos de hidrodinámica en relatividad especial (SRHD) y magnetohidrodinámica en relatividad especial (SRMHD).

Finalmente, cuando el fluido está en presencia de fuertes campos gravitatorios, como por ejemplo en presencia de objetos compactos, hablamos de hidrodinámica y magnetohidrodinámica en relatividad general (GRHD y GRMHD).

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