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Viajes superlumínicos mediante warp drive (impulso por deformación)

septiembre 16, 2012 in Física, Relatividad | Tags: Alcubierre, Alcubierre metric, burbuja warp, impulso deformación, metrica Alcubierre, Miguel Alcubierre, relativistic visualization, superlumínico, warp drive | Deja un comentario

Nada que se mueva en el tejido del espacio-tiempo puede superar la velocidad de la luz. Sin embargo, el propio tejido no esta sometido a esta restricción (o al menos eso sugiere la teoría de la inflación cósmica para resolver el problema del horizonte).

La materia provoca deformación en el espacio-tiempo. Lo que propone M. Alcubierre en su artículo «The Warp Drive: Hyper-fast Transluminic within General Relativity», es crear una distorsión local del espacio-tiempo de manera que produzca una expansión detrás de la nave espacial, y una contracción opuesta por delante de ella. De esta manera, es el propio espacio-tiempo el que empuja lejos de la Tierra a la nave y la atrae hacia la estrella distante a la que se pretende viajar.

En el formalismo $3+1$ , que permite una clara interpretación de los resultados, la métrica se escribe.

$ds^2 = -d\tau^2 = g_{\alpha\beta}dx^\alpha dy^\beta =$

$= -(\alpha^2 - \beta_i \beta^i) dt^2 + 2 \beta_i dx^i dt + \gamma_{ij} dx^i dx^j$

Una manera de conseguir lo pretendido es hacer:

$\alpha = 1, \beta^x = -v_s(t)f(r_s(t)), \beta^y = \beta^z = 0, \gamma_{ij}=\delta_{ij}$

con

$v_s(t)=\frac{dx_s(t)}{dt}$ y $r_s(t)=[(x-x_s(t))^2+y^2+z^2]^{1/2}$

$f(r_s) = \frac{\tanh(\sigma(r_s+R))-\tanh(\sigma(r_s-R))}{2 \tanh (\sigma R)}$

con $R>0$ y $\sigma >0$ arbitrarios.

La siguiente imagen del artículo original de Alcubierre muestra como queda deformado el espacio-tiempo con esta métrica (corresponde a los valores $\sigma=8$ y $R = v_s =1$ en la métrica) consiguiendo la burbuja warp donde se sitúa la nave:

El Prof. Dr. Daniel Weiskopf que trabaja, entre otras cosas, en Special and general relativistic visualization, ya editó en el año 2000 un pequeño video en el que simula, mediante técnicas de Ray tracing, como veriamos diferentes cuerpos del Sistema Solar si por el espacio-tiempo que hay entre ellos y nosotros pasara una nave viajando dentro de una burbuja warp a diferentes velocidades, sub y superlumínicas, cercanas a la de la luz:

Dentro de la página que hemos enlazado anteriormente hay otros vídeos mas actuales.

El formalismo 3+1 de la relatividad numérica.

septiembre 14, 2012 in Física, Matemáticas, Métodos Numéricos, Relatividad | Tags: Alcubierre, ecuaciones Einstein, foliación, formalismo 3+1, globalmente hiperbólico, relatividad numérica | 1 comentario

En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, también explica el formalismo $3+1$ .

Resolver las ecuaciones de campo de Einstein en la práctica es complicado, ya que son un sistema de $10$ EDPs en $4D$ acopladas y no lineales con muchísimos términos. Se conocen soluciones exactas en situaciones muy concretas con un alto grado de simetría espacial o temporal (simetría esférica, simetría axial, soluciones estáticas, homogéneas, isotrópicas, etc.), pero en la mayoría de situaciones interesantes en astrofísica no se dan estas condiciones y tenemos que resolverlas utilizando aproximaciones numéricas mediante complicados programas.

En relatividad numérica, la idea es separar las ecuaciones de campo de Einstein de forma que podamos dar ciertas condiciones iniciales y, a partir de ellas, obtener la evolución del campo gravitacional. Existen diferentes maneras de hacerlo y el formalismo $3+1$ , que es el mas ampliamente utilizado, lo hace separando las tres componentes espaciales de la temporal.

Para estudiar la evolución en el tiempo, lo primero que se hace es formular un problema de Cauchy. En las ecuaciones de Einstein, el espacio y el tiempo son simétricos, por lo que primero debemos separar uno de otro. Lo que queremos es un espacio-tiempo orientable temporalmente de manera que podamos elegir de manera contínua a través del espacio-tiempo la mitad del cono de luz que contituye la dirección futura y de la mitad que corresponde a la dirección pasada. A la formulación de la relatividad general (GR) resultante de esta separación es el formalismo $3+1$ .

Un conjunto abierto $U$ de un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico sii:

Para cualquier par de puntos $p$ y $q$ , el conjunto $\gamma^+(p) \cap \gamma^-(q) \subset U$ y es compacto, donde $\gamma^\pm(S)$ son el futuro y pasado causal de una region $S$ .
No existen curvas espacio-temporales cerradas que pasen por $U$ , prohibiendo los viajes al pasado en el tiempo y cumpliendose de esta manera el pricipio de causalidad en el abierto.

Una $p$ –foliación de una variedad $M$ de dimension $n$ consiste en una partición de ésta en subvariedades diferenciables $\{N_i\}_{i \in I}$ de dimensión $\dim N_i = p<;m,\,\forall i\in I$ , por lo que localmente $M$ tiene estrutura topologica de variedad producto. Por ejemplo, una $2$ -foliación del espacio $\mathbb{R}^3$ es $\{ \mathbb{R}^2_z\}_{z \in \mathbb{R}}$ . La foliación de una variedad no es única (por ejemplo, $\{ \mathbb{R}^2_y\}_{y \in \mathbb{R}}$ es otra foliación posible de $\mathbb{R}^3$ , asumiendo que sabemos de que hablamos cuando nos referimos a $z$ o $y$ : planos con vector normal $(0,0,1)$ en el primer caso y $(0,1,0)$ en el segundo).

Todo espacio-tiempo globalmente hiperbólico puede ser foliado, es decir, separado en cortes tridimensionales apilados, de tal forma que cada hoja es una hipersuperficie de Cauchy espacial. Sea $(t,x^i)$ un sistema de coordenadas tal que la función $t$ es de gradiente temporal. Entonces las superficies $t=cte$ (un tiempo «universal» que no tiene porque ser el tiempo propio de nadie) definen una foliación del espacio-tiempo. Denotaremos por $\Sigma_t$ a la hipersuperfície de Cauchy de tiempo $t$ .

Dada una foliación $\Sigma_t$ definida para la función $t$ , podemos encontrar campos vectoriales $\xi$ de manera que $\mathcal{L}_\xi t = 1$ . Llamamos base de evolución a la pareja $(\xi,t)$ . Podemos descomponer $\xi$ de manera relativa a un observador euleriano:

$\xi = \alpha n + \beta$

donde $n = \frac{dt}{|dt|}$ con $g(n,n)=-1$ es la normal a la foliación, $\alpha$ es la función de paso y $\beta$ el vector desplazamiento de la base de evolución. A cada base de evolución podemos asociarle unas coordenadas adaptadas de manera que $\xi = \partial_t$ y $(x^i)$ son coordenadas en $\Sigma_t$ , de manera que $\beta = \beta^i \partial_i$ .

Considerar diferentes $\alpha$ es considerar diferentes foliaciones, por lo que el paso entre $\Sigma_0$ y $\Sigma_t$ depende del punto de $\Sigma_0$ considerado: $\alpha = \alpha(t,x^i)$ .

El vector desplazamiento $\beta$ determina $\xi$ , define el difeomorfismo entre $\Sigma_0$ y $\Sigma_t$ : si $\beta=0$ entonces $\varphi_t(P_0) = \bar{P_t}$ con $P_0 \in \Sigma_0$ y $\bar{P_t}\in \Sigma_t$ ambos sobre la misma curva integral de $n$ , por lo que tenemos evolución sin desplazamiento. Si $\beta \neq 0$ entonces $\varphi_t(P_0) = P_t$ en $\Sigma_t$ desplazado respecto $\bar{P_t}$ .

Por lo tanto, tenemos:

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\alpha^2 + \beta_k \beta^k & \beta_i \\ \beta_j & \gamma_{ij} \end{pmatrix}$

$n^\mu = \frac{1}{\alpha}(1,-\beta^i)$ , $n_\mu = (-\alpha,0)$

Las ecuaciones de campo de Einstein.

septiembre 12, 2012 in Física, Relatividad | Tags: Alcubierre, conexión, conexión Levi-Civita, derivada covariante, ecuaciones campo, ecuaciones campo Einstein, ecuaciones Einstein, Einstein, Hilbert, identidad Bianchi, tensor curvatura, tensor curvatura Riemann, tensor Einstein, tensor Ricci | 1 comentario

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura $(-,+,+,+)$ y $G=c=1$ ):

$G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}$

donde $G_{\mu\nu}$ es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, $8 \pi$ es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y $T_{\mu\nu}$ es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como $G_{\mu \nu}, T_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R})$ , tenemos $16$ ecuaciones que se reducen a $10$ por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son $10$ PDEs acopladas en $4D$ .

El tensor de Einstein se define como:

$G_{\mu \nu} := R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}R$

donde $R_{\mu \nu}:=R^\lambda_{\mu \lambda \nu}$ es el tensor de Ricci ( $R_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R})$ ) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y $R:=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu}$ es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión $\nabla$ :

$R(u,v)w = \nabla_u \nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w$

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

$R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\sigma \nu} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\sigma \mu} + \Gamma^\alpha_{\sigma \nu} \Gamma^\rho_{\alpha \mu} - \Gamma^\alpha_{\sigma \mu} \Gamma^\rho_{\alpha \nu}$

y que con $4$ índices en $n$ dimensiones tiene $n^4$ componentes, de las que solo $20$ (si $n=4$ y $4^4=256$ ), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que $R=0 \Leftrightarrow$ variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

$v_\alpha = g_{\alpha \beta} v^\beta$

$v^\alpha = g^{\alpha \beta} v_\beta$

$R_{\rho \sigma \mu \nu} = g_{\rho \alpha} R^{\alpha}_{\sigma \mu \nu}$

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo $(0,4)$ (los elementos de la base pasan de ser de la forma $\frac{\partial}{\partial_{x^\alpha}} \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta$ de un tensor de tipo $(1,3)$ a ser de la forma $dx^\alpha \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta$ ).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

Antisimetrías: $R_{\alpha \beta \gamma \delta} = - R_{\alpha \beta \delta \gamma} = -R_{\beta \alpha \gamma \delta}$ .
Simetrías: $R_{\alpha \beta \gamma \delta} = R_{\gamma \delta \alpha \beta}$ .
Primera identidad de Bianchi: $R_{\alpha[\beta\gamma\delta]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta} + R_{\alpha\gamma\delta\beta} + R_{\alpha\delta\beta\gamma} = 0$ .
Segunda identidad de Bianchi: $R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\epsilon]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta;\epsilon} + R_{\alpha\beta\delta\epsilon;\gamma} + R_{\alpha\beta\epsilon\gamma;\delta} = 0$ .

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

$T^{00}$ = densidad de energía.

$T^{0i} =$ densidad de momento.

$T^{ij} =$ flujo de momento $i$ a través de la superficie $j$ .

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

$G^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0 \Rightarrow T^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0$

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde $;$ indica la derivada covariante.

L	M	X	J	V	S	D
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