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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos (M,g), donde M es una variedad diferencial abstracta y g es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad M como curvas \gamma que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas.

Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales (D_{\vec{v}} Y , que podemos ver como (\nabla Y) \cdot \vec{v}, que nos permite definir D_X Y) no tiene porque estar en el espacio tangente de una variedad arbitraria, necesitamos aprender a derivar campos vectoriales en éstas.

Si la variedad está contenida en un espacio ambiente, siempre podemos quedarnos con la parte tangente de las derivadas direccionales, es decir, siempre podemos proyectar (D_X^T Y), pero ¿qué pasa cuando no tenemos la variedad embebida en un espacio ambiente? o, equivalentemente, ¿qué pasa cuando queremos trabajar de manera intrínseca? Necesitamos introducir el concepto de conexión.

Una conexión nos permitirá derivar campos vectoriales sobre variedades abstractas y definir así la aceleración de una curva como la variación del campo velocidad a lo largo de ésta. Se puede definir una conexión sobre una variedad M como una aplicación:

\nabla: \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \longrightarrow \mathcal{X}(M)

cumpliendo:

  1. \nabla es \mathcal{C}^\infty (M)-lineal en la primera variable.
  2. \nabla es \mathbb{R}-lineal en la segunda variable.
  3. \nabla_X (fY) = X(f) Y + f \nabla_X Y para toda función f.

Llamamos al nuevo campo vectorial \nabla_X Y derivada covariante de Y con respecto a X y \nabla_{X_p} Y es la derivada direccional de Y en la dirección X_p sobre la variedad abstracta.

Esta definición es poco operativa. Si expresamos los campos en una carta (U,\phi), entonces \nabla_X Y queda totalmente determinado por los símbolos de conexión \Gamma_{ij}^k determinados mediante:

\nabla_{\frac{\partial}{\partial \phi^i}} \frac{\partial}{\partial \phi^j} = \sum_k \Gamma_{ij}^k \frac{\partial}{\partial \phi^k}

en las coordenadas de la carta.

Una consideración importante es que las conexiones existen sin la necesidad de las métricas, es decir, que podemos hacer referencia a transporte paralelo y a geodésicas en una variedad sin necesidad de tener definida una métrica sobre ésta. Sin embargo, un resultado sorprendente, fundamental, nos garantiza la construcción de una conexión única coherente con la métrica: la conexión de Levi-Civita.

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura (-,+,+,+) y G=c=1):

G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}

donde G_{\mu\nu} es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, 8 \pi es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y T_{\mu\nu} es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como G_{\mu \nu}, T_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R}), tenemos 16 ecuaciones que se reducen a 10 por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son 10 PDEs acopladas en 4D.

El tensor de Einstein se define como:

G_{\mu \nu} := R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}R

donde R_{\mu \nu}:=R^\lambda_{\mu \lambda \nu} es el tensor de Ricci (R_{\mu \nu} \in \mathcal{M}_{16}(\mathbb{R})) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y R:=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión \nabla:

R(u,v)w = \nabla_u \nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\sigma \nu} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\sigma \mu} + \Gamma^\alpha_{\sigma \nu} \Gamma^\rho_{\alpha \mu} - \Gamma^\alpha_{\sigma \mu} \Gamma^\rho_{\alpha \nu}

y que con 4 índices en n dimensiones tiene n^4 componentes, de las que solo 20 (si n=4 y 4^4=256), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que R=0 \Leftrightarrow variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

v_\alpha = g_{\alpha \beta} v^\beta

v^\alpha = g^{\alpha \beta} v_\beta

R_{\rho \sigma \mu \nu} = g_{\rho \alpha} R^{\alpha}_{\sigma \mu \nu}

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo (0,4) (los elementos de la base pasan de ser de la forma \frac{\partial}{\partial_{x^\alpha}} \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta de un tensor de tipo (1,3) a ser de la forma dx^\alpha \otimes dx^\beta \otimes dx^\gamma \otimes dx^\delta).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

  1. Antisimetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = - R_{\alpha \beta \delta \gamma} = -R_{\beta \alpha \gamma \delta}.
  2. Simetrías: R_{\alpha \beta \gamma \delta} = R_{\gamma \delta \alpha \beta}.
  3. Primera identidad de Bianchi: R_{\alpha[\beta\gamma\delta]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta} + R_{\alpha\gamma\delta\beta} + R_{\alpha\delta\beta\gamma} = 0.
  4. Segunda identidad de Bianchi:R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\epsilon]} = R_{\alpha\beta\gamma\delta;\epsilon} + R_{\alpha\beta\delta\epsilon;\gamma} + R_{\alpha\beta\epsilon\gamma;\delta} = 0.

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

T^{00} = densidad de energía.

T^{0i} = densidad de momento.

T^{ij} = flujo de momento i a través de la superficie j.

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

G^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0 \Rightarrow T^{\mu \nu}\,_{;\nu} = 0

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde ; indica la derivada covariante.

junio 2017
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