formalismo 3+1 | Adsu's Blog

Como ya comentamos, de la tesis de Bauswein, adoptando la foliación $3+1$ del espacio-tiempo la métrica queda:

$ds^2 = (- \alpha^2 + \beta_i \beta^i) dt^2 + 2 \beta_i dx^i dt + \gamma_{ij} dx^i dx^j$

En la aproximación CFC resolvemos repetidamente el problema de valor inicial. De acuerdo con esta aproximación, la parte espacial de la métrica se puede escribir como:

$\gamma_{ij} = \psi^4 \delta_{ij}$

donde $\psi$ es el factor conforme (una transformación conforme preserva los ángulos. En geometría Riemanniana, dos métricas de Riemann $g$ y $h$ sobre una variedad $M$ son conformemente equivalentes si $g=uh$ para alguna función positiva $u$ sobre $M$ . La función $u$ es el factor conforme).

De esta manera, las ecuaciones de Einstein, asumiendo $K := tr(K_{ij}) = K_i^i =0$ , se reducen al sistema de cinco PDE elipticas no lineales acopladas:

$\Delta \psi = -2 \pi \psi^5 E - \frac{1}{8} \psi^5 K_{ij}K^{ij}$

$\Delta(\alpha \psi) = 2 \pi \alpha \psi^5 (E + 2S) + \frac{7}{8} \alpha \psi^5 K_{ij}K^{ij}$

$\Delta \beta^i + \frac{1}{3}\partial^i \partial_j \beta^j = 16 \pi \alpha \rho W + 2 \psi^{10} K^{ij} \partial_j (\frac{\alpha}{\psi^6}) =: S_\beta$

donde $E = \rho h W^2 - P$ , $S = \rho h (W^2 -1) + 3P$ y

$K_{ij} = \frac{\psi^4}{2 \alpha} (\delta_{il} \partial_j \beta_l + \delta_{jl} \partial_i \beta^l - \frac{2}{3} \delta_{ij} \partial_k \beta^k )$

que podemos escribir de manera mas compacta como:

$\Delta B^i = S_\beta$

$\Delta \chi = \partial_i B^i$

si definimos $\beta^i = B^i - \frac{1}{4} \partial_i \chi$ y que es un sistema tipo Poisson que puede ser resuelto iterativamente hasta la convergencia con un método multigrid.

Las condiciones en la frontera se dan mediante desarrollo multipolar () de los terminos fuente, que son no compactas, hasta el armónico quadrupolar.

En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, también explica el formalismo $3+1$ .

Resolver las ecuaciones de campo de Einstein en la práctica es complicado, ya que son un sistema de $10$ EDPs en $4D$ acopladas y no lineales con muchísimos términos. Se conocen soluciones exactas en situaciones muy concretas con un alto grado de simetría espacial o temporal (simetría esférica, simetría axial, soluciones estáticas, homogéneas, isotrópicas, etc.), pero en la mayoría de situaciones interesantes en astrofísica no se dan estas condiciones y tenemos que resolverlas utilizando aproximaciones numéricas mediante complicados programas.

En relatividad numérica, la idea es separar las ecuaciones de campo de Einstein de forma que podamos dar ciertas condiciones iniciales y, a partir de ellas, obtener la evolución del campo gravitacional. Existen diferentes maneras de hacerlo y el formalismo $3+1$ , que es el mas ampliamente utilizado, lo hace separando las tres componentes espaciales de la temporal.

Para estudiar la evolución en el tiempo, lo primero que se hace es formular un problema de Cauchy. En las ecuaciones de Einstein, el espacio y el tiempo son simétricos, por lo que primero debemos separar uno de otro. Lo que queremos es un espacio-tiempo orientable temporalmente de manera que podamos elegir de manera contínua a través del espacio-tiempo la mitad del cono de luz que contituye la dirección futura y de la mitad que corresponde a la dirección pasada. A la formulación de la relatividad general (GR) resultante de esta separación es el formalismo $3+1$ .

Un conjunto abierto $U$ de un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico sii:

Para cualquier par de puntos $p$ y $q$ , el conjunto $\gamma^+(p) \cap \gamma^-(q) \subset U$ y es compacto, donde $\gamma^\pm(S)$ son el futuro y pasado causal de una region $S$ .
No existen curvas espacio-temporales cerradas que pasen por $U$ , prohibiendo los viajes al pasado en el tiempo y cumpliendose de esta manera el pricipio de causalidad en el abierto.

Una $p$ –foliación de una variedad $M$ de dimension $n$ consiste en una partición de ésta en subvariedades diferenciables $\{N_i\}_{i \in I}$ de dimensión $\dim N_i = p<;m,\,\forall i\in I$ , por lo que localmente $M$ tiene estrutura topologica de variedad producto. Por ejemplo, una $2$ -foliación del espacio $\mathbb{R}^3$ es $\{ \mathbb{R}^2_z\}_{z \in \mathbb{R}}$ . La foliación de una variedad no es única (por ejemplo, $\{ \mathbb{R}^2_y\}_{y \in \mathbb{R}}$ es otra foliación posible de $\mathbb{R}^3$ , asumiendo que sabemos de que hablamos cuando nos referimos a $z$ o $y$ : planos con vector normal $(0,0,1)$ en el primer caso y $(0,1,0)$ en el segundo).

Todo espacio-tiempo globalmente hiperbólico puede ser foliado, es decir, separado en cortes tridimensionales apilados, de tal forma que cada hoja es una hipersuperficie de Cauchy espacial. Sea $(t,x^i)$ un sistema de coordenadas tal que la función $t$ es de gradiente temporal. Entonces las superficies $t=cte$ (un tiempo «universal» que no tiene porque ser el tiempo propio de nadie) definen una foliación del espacio-tiempo. Denotaremos por $\Sigma_t$ a la hipersuperfície de Cauchy de tiempo $t$ .

Dada una foliación $\Sigma_t$ definida para la función $t$ , podemos encontrar campos vectoriales $\xi$ de manera que $\mathcal{L}_\xi t = 1$ . Llamamos base de evolución a la pareja $(\xi,t)$ . Podemos descomponer $\xi$ de manera relativa a un observador euleriano:

$\xi = \alpha n + \beta$

donde $n = \frac{dt}{|dt|}$ con $g(n,n)=-1$ es la normal a la foliación, $\alpha$ es la función de paso y $\beta$ el vector desplazamiento de la base de evolución. A cada base de evolución podemos asociarle unas coordenadas adaptadas de manera que $\xi = \partial_t$ y $(x^i)$ son coordenadas en $\Sigma_t$ , de manera que $\beta = \beta^i \partial_i$ .

Considerar diferentes $\alpha$ es considerar diferentes foliaciones, por lo que el paso entre $\Sigma_0$ y $\Sigma_t$ depende del punto de $\Sigma_0$ considerado: $\alpha = \alpha(t,x^i)$ .

El vector desplazamiento $\beta$ determina $\xi$ , define el difeomorfismo entre $\Sigma_0$ y $\Sigma_t$ : si $\beta=0$ entonces $\varphi_t(P_0) = \bar{P_t}$ con $P_0 \in \Sigma_0$ y $\bar{P_t}\in \Sigma_t$ ambos sobre la misma curva integral de $n$ , por lo que tenemos evolución sin desplazamiento. Si $\beta \neq 0$ entonces $\varphi_t(P_0) = P_t$ en $\Sigma_t$ desplazado respecto $\bar{P_t}$ .