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En el artículo técnico What would a binary black hole merger look like?  se simula, mediante técnicas de ray tracing, como vería un observador externo el merge de dos agujeros negros (del artículo y del sitio web de los autores están sacadas prácticamente todas las imágenes).

Si estamos mirando hacia algún sitio, digamos:

ClockTower-400x300

y pasa un agujero negro frente a nosotros, lo primero que se nos viene a la cabeza es la siguiente imagen:

ClockTower-400x300b

ya que como de un agujero negro no puede escapar nada, ni la luz, pensamos que veríamos una simple esfera negra tapando un trozo de nuestra visión. Sin embargo, una imagen mas realista de lo que veríamos es:

ClockTower_BH-400x300debido a la curvatura que experimentan los rayos de luz por la curvatura del espacio-tiempo que genera el agujero negro: efecto de lente gravitacional.

Colocando una imagen de fondo más métrica, así es como se verían los espacios de Minkowski, Schwarzschild y Kerr.

analyticSpacetimesSi en lugar de un agujero negro tenemos un sistema binario de agujeros negros de igual masa, entonces tendríamos:

bbhSystem

Finalmente, una animación del merge:

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El viernes 13 de noviembre de 2014 murió Alexander Grothendieck, un genio matemático a la altura de los mas grandes, capaz de reformular el solo toda una área de las matemáticas desde sus mismos cimientos: la geometría algebraica. Sobre el escribí lo siguiente en esta entrada que dediqué al premio Abel del año pasado:

Alexander Grothendieck es el siguiente personaje importante en el área, pues reescribió la geometría algebraica subsumiendo el concepto de variedad algebraica en el de esquema, entendiendo que cualquier anillo conmutativo puede ser un objeto geométrico, dotando de esta manera, de un nuevo lenguaje y una fundamentación, mucho mas potente que la de Weil, para la geometría algebraica.

A pesar de su abstracción, o precisamente por ella, esta última visión es la que ha permanecido, pues permite conectar dos mundos, el de la geometría algebraica y el de la álgebra conmutativa.

Una anécdota que he leído en estos días, que muestran el despertar de su genialidad es la siguiente. Cuando empezó a trabajar en su tesis doctoral bajo la supervisión de Laurent Schwartz y Jean Dieudonné, dos de los mejores matemáticos de la época, le entregaron una lista con 14 problemas para que escogiera uno en el que trabajar los tres o cuatro años siguientes. A los pocos meses los había resuelto todos.

Cosechas y Siembras. Reflexiones y testimonios sobre un pasado de matemático, obra de su puño y letra y, según sus propias palabras:

…una reflexión sobre mí mismo y mi vida. Por eso mismo también es un testimonio…

da una visión de la profundidad e inmensidad de su pensamiento. Algunos extractos de la misma:

.Sus doce “grandes ideas” (su aportación a las matemáticas):

  1. Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares.
  2. Dualidad “continua” y “discreta” (categorías derivadas, “seis operaciones”).
  3. Yoga Riemann-Roch-Grothendieck (teoría K, relación con la teoría de intersecciones).
  4. Esquemas.
  5. Topos.
  6. Cohomología étal y l-ádica.
  7. Motivos y grupo de Galois motívico (\otimes-categorías de Grothendieck).
  8. Cristales y cohomología cristalina, yoga “coeficientes de De Rham”, “coeficientes de Hodge”…
  9. “Algebra topológica”:\infty-campos, derivadores; formalismo cohomológico en los topos, como inspiración para una nueva álgebra homotópica.
  10. Topología moderada.
  11. Yoga de geometría algebraica anabeliana, teoría de Galois-Teichmüller.
  12. Punto de vista “esquemático” o “aritmético” en los poliedros regulares y las configuraciones regulares de todo tipo.

.Metaforas:

“Habló sobre dos tipos de matemáticos, el que abriría una nuez con martillo y cincel y el que, pacientemente, la sumerge en agua y espera, con el paso de los meses, a que el líquido penetre y se pueda partir cerrando la mano sin más”.

“Lo ignoto que quiere ser conocido se me presentaba como una porción de tierra, o una dura magra, resistiéndose a la penetración… El océano avanza insensible en silencio, nada parece suceder, nada se mueve, el agua está tan lejos que apenas puedes escucharlo… Y sin embargo finalmente rodea la sustancia resistente”.

.Importancia de las preguntas, nociones y puntos de vista frente a las respuestas propiamente dichas:

Es realmente por el descubrimiento sobre todo de preguntas nuevas, de nociones nuevas, o aún de puntos de vista nuevos, o de nuevos “mundos”, que mi obra matemática ha resultado ser fecunda, más que por las “soluciones” que he aportado a preguntas ya planteadas. Esta pulsión muy fuerte que me lleva hacia el descubrimiento de las buenas preguntas, más que hacia el de las respuestas, y hacia el descubrimiento de buenas nociones y enunciados, mucho más que hacia el de las demostraciones, son otros trazos “yin” fuertemente marcados en mi aproximación a las matemáticas

.Sensibilidad en el manejo del lenguaje e invención de nueva terminología:

Desde un punto de vista cuantitativo, a lo largo de mis años de productividad intensa, mi trabajo se ha concretado sobre todo en unas doce mil páginas de publicaciones, bajo la forma de artículos, monografías o seminarios, y por medio de centenares, si no miles, de nociones nuevas que han entrado en el patrimonio común, con los nombres mismos que les había dado al despejarlas [dégagées]. En la historia de las matemáticas, creo ser aquel que ha introducido en nuestra ciencia el mayor número de nociones nuevas y, a la vez, ser aquel que se ha visto llevado a inventar el mayor número de nombres nuevos, para expresar esas nociones con delicadeza y de la manera más sugestiva posible.

Un resumen en  http://finiterank.com/docs/grothendieck-zalamea.pdf:

Una sitio web dedicado a Grothendieck: http://www.grothendieckcircle.org/

Geometría euclideana, geometría analítica, geometría afín, geometría proyectiva, geometría elíptica, geometría hiperbólica, geometría simplectica, geometría Riemanniana, geometría Lorentziana, geometría conforme, geometría diferencial, geometría lineal, geometría algebraica

¿Qué es, en esencia, una geometría? Felix Klein en su Programa de Erlangen nos lo aclara: es el estudio de los invariantes bajo un grupo de transformaciones, donde grupo se refiere a la estructura algebraica y no al mero conjunto.

Cuando en matemáticas estudiamos una estructura algebraica determinada, un objeto en la Teoria de categorías, supongamos el espacio afín para fijar ideas, a continuación siempre se estudian las aplicaciones entre éstas, los morfismo en la Teoría de categorías, que conservan la estructura en realidad, aplicaciones entre las estructuras que respetan ciertos invariantes característicos de estas estructuras (la idea es que obtendremos el mismo valor para el invariante si trabajamos en la estructura de salida y finalmente transformamos a la estructura  que si primero transformamos para trabajar en el destino), en particular aquellas cuyos conjuntos de salida y de llegada coinciden, los endomorfismos, que en el caso que nos ocupa, por ejemplo, serían las transformaciones afines o afinidades. De esta manera, la geometría afín es el estudio de los invariantes por las traslaciones.

Es mas, no es la geometría la que induce el grupo, sino el grupo el que genera la geometría: dame el grupo de transformaciones admisible y te construiré su geometría.

Ya comentamos en este post el formalismo Lagrangiano (coordenadas generalizadas de posiciones y velocidades). Vamos a comentar ahora la imagen Hamiltoniana.

Como en el caso anterior, utilizamos coordenadas de posición generalizadas q^1, \ldots, q^n que ahora irán acompañadas de las coordenadas de los momentos generalizados p^1, \ldots, p^n. Para una única partícula libre,  el momento no es mas que las velocidad multiplicada por la masa, y en general, siempre podemos obtenerlo a partir del Lagrangiano:

p_r = \frac{\partial}{\partial \dot{q}^r} \mathcal{L},

que nos proporciona las coordenadas para el espacio cotangente y poder escribir el covector como p_a dq^a.

Con todo ésto, la función Hamiltoniana se define como:

\mathcal{H} := \mathcal{H}(q^1,\ldots,q^n;p_1,\ldots,p_n),

y una manera de obtenerlo a partir del Lagrangiano es:

\mathcal{H} = [\dot{q}^r \frac{\partial}{\partial\dot{q}^r} - 1 ] \mathcal{L},

reescrita en términos de los momentos (y no las velocidades, que son las que aparecen en \mathcal{L}).

Al pasar al mundo cuántico, podemos identificar los momentos con los operadores diferenciales introduciendo el factor \hbar := \frac{h}{2 \pi}:

p_a = i \hbar \frac{\partial}{\partial x^a},

para el momento asociado a la posición x^a.

Y no solo eso. Si consideramos las variables de los momentos p_a como primarias y queremos obtener las de posición x^a a partir de éstas, exite una simetría muy precisa entre el espacio de momentos y el espacio de posiciones, de manera que tenemos:

x^a = i \hbar \frac{\partial}{\partial p_a},

donde la transformada de Fourier juega un papel importante también ahora.

En ambos casos, podemos obtener la regla de conmutación canónica que relaciona posiciones y momentos lineales:

p_a x^a - x^a p_a = i \hbar \delta^a_b.

Recordemos lo ya expuesto en este post: que en las coordenadas esferoidales prolatas (\mu, \nu, \varphi), las dos primeras (\mu, \nu) provienen de las coordenadas elípticas, donde \mu \in ]0,+\infty[ y \nu \in ]0,2\pi[, mientras que la última \varphi \in ]0,2\pi[ proviene de rotarlas alrededor del eje que une los focos.

Compactificamos la primera coordenada mediante \boxed{\mu = b \tan \frac{\pi \bar{\mu}}{2}}.

El Laplaciano y las fuentes, en estas coordenadas y con esta compactificación, utilizando una nueva función en Mathematica que nos lo calcula todo, quedan:

lap_ellComNor2

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

s1_ellComNor2

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

s21_ellComNor2

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

A1x_ellComNor2

A2x_ellComNor2

A3x_ellComNor2

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

Las coordenas elípticas vienen definidas por:

x = a \, \mbox{cosh} \mu \cos \nu,

y = a \, \mbox{sinh} \mu \sin \nu,

donde las líneas coordenadas son elípses e hipérbolas:

Para pasar a coordenadas tridimensionales tenemos tres opciones:

  1. extruir a lo largo del eje z: coordenadas cilíndricas elípticas,
  2. rotar alrededor del eje que une los dos focos: coordenadas esferoidales prolatas,
  3. rotar alrededor del eje perpendicular al eje anterior y que separa ambos focos: coordenadas esferoidales oblatas.

A continuación un gráfico donde se ven combinadas:

sphBiSph

La salida ahora para un tensor dos veces contravariante en la base ortonormal queda:

CovDerTen2BiSphCom1,

Para primera ecuación:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

definimos como antes

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

De esta manera, en nuestras coordenadas obtenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\xi} V^{\xi} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} V^{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\varphi} V^{\varphi}) =

div_biSphComNor1

donde

V^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \bar{\eta}} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \varphi} ),

V^{\bar{\eta}} = \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \bar{\eta}} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \varphi} ),

V^{\varphi} = \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \bar{\eta}} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ),

que desarrollando las covariantes quedan:

V^{\xi} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

V^{\bar{\eta}} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta}) + 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} - \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ] ),

V^{\varphi} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

que combinandolo con la anterior, queda:

Finalmente, las ecuaciones:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} },

con las que procederemos de manera similar a como hemos hecho con las X^i, es decir, calculando las fuentes en una base, haciendo un cambio de base que las desacople (cartesianas), resolviendolas de manera independiente y volviendo a la base original:

S^i_\beta (\bar{r},\theta,\varphi) := 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}_i \Theta_{\beta},

que quedan:

S^{\xi}_\beta= 2 \big [ \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \bar{\eta}}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\xi \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\xi} \Theta_\beta,

S^{\bar{\eta}}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \xi}) + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \bar{\eta}}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{\eta} \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{\eta}} \Theta_\beta,

S^{\varphi}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\xi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_\beta,

donde las derivadas covariantes del tensor dos veces contravariante:

T^{ij}:=\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}

son como acabamos de hacer en la ecuación anterior y las del escalar \Theta_\beta es como ya hicimos con las X^i:

S^{\xi} = 2 V^{\xi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{3a} \partial_{\xi} \Theta_{\beta},

S^{\bar{\eta}} = 2 V^{\bar{\eta}} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{3a} \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b} \partial_{\bar{\eta}} \Theta_{\beta},

S^{\varphi} = 2 V^{\varphi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{3a} \csc \xi \partial_{\varphi} \Theta_{\beta}.

Hacemos a continuación el cambio:

[S^{\xi}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S^{\bar{\eta}}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S^{\varphi}(\xi,\bar{\eta},\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [S^x(\xi,\bar{\eta},\varphi), S^y(\xi,\bar{\eta},\varphi), S^z(\xi,\bar{\eta},\varphi)],

y resolvemos:

\Delta \beta^{x} = S^{x}

\Delta \beta^{y} = S^{y}

\Delta \beta^{z} = S^{z},

deshaciendo el cambio:

[\beta^x(\xi,\bar{\eta},\varphi), \beta^y(\xi,\bar{\eta},\varphi), \beta^z(\xi,\bar{\eta},\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [\beta^{\xi}(\xi,\bar{\eta},\varphi),\beta^{\bar{\eta}}(\xi,\bar{\eta},\varphi),\beta^{\varphi}(\xi,\bar{\eta},\varphi)]

para terminar.

Recordemos lo ya expuesto en este post: que en las coordenadas biesféricas (\xi, \eta, \varphi), las dos primeras (\xi, \eta) provienen de las coordenadas bipolares, donde la primera indica el ángulo entre las dos rectas que unen nuestro punto con los dos focos que necesitamos para determinar las bipolares y la segundo es el logartimo del ratio entre la longitud de estas dos rectas, mientras que la última proviene de rotarlas alrededor del eje que une los focos.

Compactificamos la segunda coordenada mediante \boxed{\eta = \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}}}.

El Laplaciano, en estas coordenadas y con esta compactificación, queda:

\Delta = \frac{(\cos \xi - \mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}})^2}{a^2} \big [ \partial_{\xi \xi} + \csc \xi \frac{-1 + \cos \xi \, \mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}}}{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}} - \cos \xi} \partial_{\xi}

+\frac{(\bar{\eta} - 1)^4}{b^2} \partial_{\bar{\eta} \bar{\eta}} + \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b^2} (2(\bar{\eta}-1) -\frac{b \, \mbox{\scriptsize sinh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}}}{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}) \partial_{\bar{\eta}} + \csc^2 \xi \partial_{\varphi} \big ],

las derivadas covariantes de covectores (1-formas):

CovDer_BiSphComNor1

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\xi} S^*_{\xi} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} S^*_{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\varphi} S^*_{\varphi} ) =

s1_biSphComNor1

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasando la derivada contravariante a covariante mediante la métrica, queda:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X.

Definimos ahora

S_X^i := 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

de manera que:

S_X^{\xi} = 8 \pi f^{\xi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\xi k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\xi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\xi} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\xi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \partial_{\xi} \Theta_X

S_X^{\bar{\eta}} = 8 \pi f^{\bar{\eta} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{\eta} k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{\eta}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{\eta}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{\eta}} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b} \partial_{\bar{\eta}} \Theta_X

S_X^{\varphi} = 8 \pi f^{\varphi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\varphi k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \csc \xi \partial_{\varphi} \Theta_X

En este punto tenemos que el vector

(S_X^{\xi}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{\bar{\eta}}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{\varphi}(\xi,\bar{\eta},\varphi))

expresado en la base que resulta de normalizar la base coordenada \{ \partial_{\xi}, \partial_{\bar{\eta}}, \partial_{\varphi} \}. Lo que hacemos ahora es expresar este vector en la nueva base \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \}, de manera que obtenemos

(S_X^{x}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{y}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{z}(\xi,\bar{\eta},\varphi)).

y como es esta base las ecuaciones están desacopladas y \Theta_X es un campo escalar, resolvemos independientemente:

\Delta X^{x} = S_X^{x},

\Delta X^{y} = S_X^{y},

\Delta X^{z} = S_X^{z}.

Finalmente, con el cambio de base inverso, calculamos a partir de (X^{x},X^{y},X^{z}) el vector (X^{\xi},X^{\bar{\eta}},X^\varphi) .

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

Necesitamos ahora la derivada covariante de un vector (hasta ahora habían coincidido las derivadas covariantes de vectores y covectores, pero en este caso no):

CovDer_BiSphComNor1_vec

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\xi \xi} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\xi} + f^{\xi n} \mathcal{D}_n X^{\xi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\xi} X^{\xi} - \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\bar{\eta}} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A11_biSphComNor1

\hat{A}^{\xi \bar{\eta}} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\bar{\eta}} + f^{\bar{\eta} n} \mathcal{D}_n X^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} X^{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\xi} =

A12_biSphComNor1

\hat{A}^{\xi \varphi} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\xi} =

A13_biSphComNor1

\hat{A}^{\bar{\eta} \bar{\eta}} = f^{\bar{\eta} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{\eta}} + f^{\bar{\eta} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{\eta}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\xi} X^{\xi} + 2 \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\bar{\eta}} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A22_biSphComNor1

\hat{A}^{\bar{\eta} \varphi} = f^{\bar{\eta} m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\bar{\eta}} = \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\bar{\eta}} =

A23_biSphComNor1

\hat{A}^{\varphi \varphi} = f^{\varphi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\varphi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} +2 \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A33_biSphComNor1

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que trataremos en el siguiente post.

La salida ahora para un tensor dos veces contravariante en la base ortonormal queda:

CovDerTen2SphCom1,

Para primera ecuación:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

definimos como antes

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

De esta manera, en nuestras coordenadas obtenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\bar{r}} V^{\bar{r}} + \mathcal{D}_{\theta} V^{\theta} + \mathcal{D}_{\varphi} V^{\varphi}) =

= \frac{3 - 3\bar{r} }{2a \bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} V^{\bar{r}} + 2 V^{\bar{r}} + \partial_{\theta} V^{\theta} + \cot \theta V^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} V^{\varphi} ],

donde

V^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi} ),

V^{\theta} = \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi} ),

V^{\varphi} = \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \theta} ) + \mathcal{D}_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ),

que desarrollando las covariantes quedan:

V^{\bar{r}} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

V^{\theta} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta}) + 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} - \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi} ] ),

V^{\varphi} = \frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\theta} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta} ] +

+ \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} [ \csc \theta \partial_{\varphi} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) + \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} + \cot \theta \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta} - \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi \varphi}] ),

que combinandolo con la anterior, queda (solo escribimos como empezaría debido a la longitud de la ecuación):

\Delta \Theta_\beta = \frac{3 - 3\bar{r} }{2a \bar{r}} \Big [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} [\frac{(1 - \bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) + \ldots ] + \ldots \Big ]

Finalmente, las ecuaciones:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} },

con las que procederemos de manera similar a como hemos hecho con las X^i, es decir, calculando las fuentes en una base, haciendo un cambio de base que las desacople (cartesianas), resolviendolas de manera independiente y volviendo a la base original:

S^i_\beta (\bar{r},\theta,\varphi) := 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}_i \Theta_{\beta},

que quedan:

S^{\bar{r}}_\beta= 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \theta}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r} \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{r}} \Theta_\beta,

S^{\theta}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{r}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \bar{r}}) + \mathcal{D}_{\theta} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \theta}) + \mathcal{D}_{\varphi} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta \varphi}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\theta} \Theta_\beta,

S^{\varphi}_\beta = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta,

donde las derivadas covariantes del tensor dos veces contravariante:

T^{ij}:=\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}

son como acabamos de hacer en la ecuación anterior y las del escalar \Theta_\beta es como ya hicimos con las X^i:

S^{\bar{r}} = 2 V^{\bar{r}} - \frac{(1-\bar{r})^2}{3a} \partial_{\bar{r}} \Theta_{\beta},

S^{\theta} = 2 V^{\theta} - \frac{1-\bar{r}}{3a\bar{r}} \partial_{\theta} \Theta_{\beta},

S^{\varphi} = 2 V^{\varphi} - \frac{1-\bar{r}}{3a\bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \Theta_{\beta}.

Hacemos a continuación el cambio:

[S^{\bar{r}}(\bar{r},\theta,\varphi),S^{\theta}(\bar{r},\theta,\varphi),S^{\varphi}(\bar{r},\theta,\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [S^x(\bar{r},\theta,\varphi), S^y(\bar{r},\theta,\varphi), S^z(\bar{r},\theta,\varphi)],

y resolvemos:

\Delta \beta^{x} = S^{x}

\Delta \beta^{y} = S^{y}

\Delta \beta^{z} = S^{z},

deshaciendo el cambio:

[\beta^x(\bar{r},\theta,\varphi), \beta^y(\bar{r},\theta,\varphi), \beta^z(\bar{r},\theta,\varphi)] \rightarrow

\rightarrow [\beta^{\bar{r}}(\bar{r},\theta,\varphi),\beta^{\theta}(\bar{r},\theta,\varphi),\beta^{\varphi}(\bar{r},\theta,\varphi)]

para terminar.

La salida ahora para un tensor dos veces contravariante en la base ortonormal queda:

CovDerTen2CarCom2,

Para primera ecuación:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

definimos como antes

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

De esta manera, en nuestras coordenadas obtenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\bar{x}} V^{\bar{x}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} V^{\bar{z}}) =

= \frac{3}{2} (\frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} V^{\bar{x}}+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} V^{\bar{z}}),

donde

V^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ),

que desarrollando las covariantes quedan:

V^{\bar{x}} = \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ).

Por tanto, combiando todo, tenemos:

\Delta \Theta_\beta =

= \frac{3 + 3cos(\pi \bar{x})}{2 a \pi} \partial_{\bar{x}} \big [ \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3 + 3 \cos (\pi \bar{y})}{2b \pi} \partial_{\bar{y}} \big [ \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3 + 3 \cos(\pi \bar{z})}{2c \pi} \partial_{\bar{z}} \big [ \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

\frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) +

+ \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ) \big ],

Finalmente, las ecuaciones:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }.

son:

\Delta \beta^{\bar{x}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_\beta,

y al sustituir las derivadas covariantes:

\Delta \beta^{\bar{x}} = \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) - \frac{1 + \cos(\pi \bar{x})}{3a \pi} \partial_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{z})}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) - \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{3b \pi} \partial_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) +

+ \frac{2 + 2 \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) - \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{3c \pi} \partial_{\bar{z}} \Theta_\beta.

Copio a continuación la salida generada por nuestra función en Mathematica que nos calcula todas las derivadas covariantes de tensores con dos índices (aunque en este caso particular no es excesivamente laborioso, si lo es para el resto de entradas, por lo que evitaremos morir en el intento de pasarlas a latex 😉 ) . En particular, aquí lo hacemos para un vector dos veces contravariante y para la base ortonormal:

CovDerTen2CarCom1,

donde primer término corresponde al factor que acompaña a la derivada parcial y la matriz contiene los factores que acopañan a cada par de valores de los índices.

Vamos a ver ahora, en este caso, como quedan las ecuaciones del shift. Para la primera:

\boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) },

como contraemos el índice j quedando libre únicamente el i, definimos

V^i := \mathcal{D}_j \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij},

de manera que la ecuación original la reescribimos como

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i,

que nos ayudará a no liarnos, ya que ésta última queda como una derivada covariante de un vector donde éste, a su vez, lo calcularemos a parte como la derivada covariante de un tensor dos veces contravariante.

De esta manera, en nuestras coordenadas tenemos:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2} \mathcal{D}_i V^i = \frac{3}{2} (\mathcal{D}_{\bar{x}} V^{\bar{x}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} V^{\bar{z}}) =

= \frac{3}{2} (\frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} V^{\bar{x}}+ \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} V^{\bar{y}} + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} V^{\bar{z}}),

donde

V^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \mathcal{D}_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ),

que desarrollando las covariantes según lo encontrado al principio del post, quedan:

V^{\bar{x}} = \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ),

V^{\bar{y}} = \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ),

V^{\bar{z}} = \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) + \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ).

Por tanto, combiando todo, tenemos:

\Delta \Theta_\beta =

= \frac{3|\bar{x}^2-1|}{2a} \partial_{\bar{x}} \big [ \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} ) +

+ \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3|\bar{y}^2-1|}{2b} \partial_{\bar{y}} \big [ \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} ) +

+ \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} ) \big ] +

+ \frac{3|\bar{z}^2-1|}{2c} \partial_{\bar{z}} \big [ \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

\frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}} ) +

+ \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} ) \big ],

Para terminar, nos quedan la ecuaciónes:

\boxed{\Delta \beta^i = 2\mathcal{D}_j ( \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }.

En primer lugar, bajamos el índice de la derivada contravariante:

\mathcal{D}^{\bar{x}} \Theta_\beta = f^{\bar{x} i} \mathcal{D}_i \Theta_\beta = f^{\bar{x} \bar{x}} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta + f^{\bar{x} \bar{y}} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta + f^{\bar{x} \bar{z}} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_\beta = \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta,

y de la misma manera:

\mathcal{D}^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{y}} y \mathcal{D}^{\bar{z}} = \mathcal{D}_{\bar{z}}.

Así pues, lo que nos queda es:

\Delta \beta^{\bar{x}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = 2 \big [ \mathcal{D}_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) + \mathcal{D}_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) + \mathcal{D}_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) \big ] - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_\beta,

que al sustituir las derivadas covariantes del tensor dos veces contravariante \hat{A}^{ab} y del escalar \Theta_\beta, por su valor calculado al principio del post, quedan:

\Delta \beta^{\bar{x}} = \frac{2|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{x}}) +

+ \frac{2|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{y}}) +

+ \frac{2|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{x} \bar{z}}) - \frac{|\bar{x}^2-1|}{3a} \partial_{\bar{x}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{y}} = \frac{2|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{x}}) +

+ \frac{2|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{y}}) +

+ \frac{2|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{y} \bar{z}}) - \frac{|\bar{y}^2-1|}{3b} \partial_{\bar{y}} \Theta_\beta,

\Delta \beta^{\bar{z}} = \frac{2|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{x}}) +

+ \frac{2|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{y}}) +

+ \frac{2|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} (\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{z} \bar{z}}) - \frac{|\bar{z}^2-1|}{3c} \partial_{\bar{z}} \Theta_\beta.

Hasta hace unos dias me creía que los únicos sistemas de coordenadas existentes eran los archiconocidos sistemas cartesiano y polar en dos dimensiones y  cartesiano, cilíndrico y esférico en tres dimensiones. Menuda sorpresa me lleve al descubrir que existen muchos mas. En esta entrada comentaré algunos sistemas de coordenadas alternativos para dos dimensiones y dedicaré otra para los tridimensionales.

Coordenadas parabólicas:

Es un sistema donde las lineas coordenadas son parábolas confocales. Lo que tenemos son dos conjuntos de parábolas:

2y = \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2, abiertas hacia el eje +y,

2y = -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2, abiertas hacia el eje -y,

todas con foco en el origen. De esta manera, las coordenadas parabólicas (\sigma,\tau) vienen determinadas mediante las ecuaciones:

x = \sigma \tau

y = \frac{1}{2}(\tau^2 - \sigma^2)

En la siguiente imagen, vemos la apariencia de este sistema curvilineo:

ParCor2D

Iremos comentando en nuevos posts mas sistemas de coordenadas: coordenadas hiperbólicas, coordenadas elípticas, coordenadas bipolares, etc.

Compactificamos la primera coordenada mediante \boxed{r = \frac{a \bar{r}}{1 - \bar{r}}}.

El Laplaciano, con esta compactificación, queda:

\Delta = \frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r} \bar{r}} + \frac{2}{\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}} + \frac{(a - \bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta \theta} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \cot \theta \partial_{\theta} + \frac{(a - \bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2 } \csc \theta \partial_{\varphi \varphi}

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + \mathcal{D}_{\theta} S^*_{\theta} + \mathcal{D}_{\varphi} S^*_{\varphi} ) =

= 6 \pi \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} ( (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + 2 S^*_{\bar{r}} + \partial_{\theta} S^*_{\theta} + \cot \theta S^*_{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} S^*_{\varphi} )

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasando la derivada contravariante a covariante mediante la métrica, queda:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X.

Definimos ahora

S_X^i := 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

de manera que:

S_X^{\bar{r}} = 8 \pi f^{\bar{r} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{r} k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{r}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{r}} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{r}} - \frac{(1-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} \Theta_X,

S_X^{\theta} = 8 \pi f^{\theta j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\theta k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\theta} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\theta} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\theta} - \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} \Theta_X,

S_X^{\varphi} = 8 \pi f^{\varphi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\varphi k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \Theta_X.

En este punto tenemos que el vector

(S_X^{\bar{r}}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{\theta}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{\varphi}(\bar{r},\partial_\theta,\partial_\varphi))

expresado en la base \{ \partial_{\bar{r}}, \theta, \varphi \}. Lo que hacemos ahora es expresar este vector en la nueva base \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \}, de manera que obtenemos

(S_X^{x}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{y}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{z}(\bar{r},\theta,\varphi)).

y como es esta base las ecuaciones están desacopladas y \Theta_X es un campo escalar, resolvemos independientemente:

\Delta X^{x} = S_X^{x},

\Delta X^{y} = S_X^{y},

\Delta X^{z} = S_X^{z}.

Finalmente, con el cambio de base inverso, calculamos a partir de (X^{x},X^{y},X^{z}) el vector (X^{\bar{r}},X^\theta,X^\varphi) .

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{r}} + f^{\bar{r} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3a\bar{r}} [ 2(\bar{r}-\bar{r}^2)\partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - 2 X^{\bar{r}} - \partial_{\theta} X^{\theta} - \cot \theta X^{\theta} - \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} ]

\hat{A}^{\bar{r} \theta} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\theta} + f^{\theta n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\theta} + \mathcal{D}_{\theta} X^{\bar{r}} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\theta} - X^{\theta} + \partial_{\theta} X^{\bar{r}} ],

\hat{A}^{\bar{r} \varphi} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\bar{r}} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\varphi} - X^{\varphi} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\bar{r}} ],

\hat{A}^{\theta \theta} = f^{\theta m} \mathcal{D}_m X^{\theta} + f^{\theta n} \mathcal{D}_n X^{\theta} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + 2 \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3 a \bar{r}} [ -(\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + X^{\bar{r}} + 2 \partial_{\theta} X^{\theta} - \cot \theta X^{\theta} - \csc \partial_{\varphi} X^{\varphi} ]

\hat{A}^{\theta \varphi} = f^{\theta m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\theta} = \mathcal{D}_{\theta} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\theta} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ \partial_{\theta} X^{\varphi} - \cot \theta X^{\varphi} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\theta} ],

\hat{A}^{\varphi \varphi} = f^{\varphi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\varphi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} +2 \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3 a \bar{r}} [ -(\bar{r} - \bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + X^{\bar{r}} - \partial_{\theta} X^{\theta} + 2 \cot \theta X^{\theta} + 2 \csc \theta \partial_{\varphi} T^{\varphi} ]

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que lo tratamos en este post.

Compactificamos ahora mediante \boxed{x_i =a_i \tan \frac{\pi \bar{x}_i}{2}}.

El Laplaciano, con esta nueva compactificación, queda:

\Delta = \frac{4}{a^2 \pi^2} \cos^4 \frac{\pi \bar{x}}{2} \partial_{\bar{x} \bar{x}} + \frac{\sin (\pi \bar{x})(1+\cos (\pi \bar{x}))}{a^2 \pi^2} \partial_{\bar{x}} +

+ \frac{4}{b^2 \pi^2} \cos^4 \frac{\pi \bar{y}}{2} \partial_{\bar{y} \bar{y}} + \frac{\sin (\pi \bar{y})(1+\cos (\pi \bar{y}))}{b^2 \pi^2} \partial_{\bar{y}} +

+ \frac{4}{c^2 \pi^2} \cos^4 \frac{\pi \bar{z}}{2} \partial_{\bar{z} \bar{z}} + \frac{\sin (\pi \bar{z})(1+\cos (\pi \bar{z}))}{c^2 \pi^2} \partial_{\bar{z}}

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\bar{x}} S^*_{\bar{x}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} S^*_{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} S^*_{\bar{z}} ) =

= 6 \pi ( \frac{1 + \cos ( \pi \bar{x}) }{a \pi} \partial_{\bar{x}} S^*_{\bar{x}} + \frac{1 + \cos (\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} S^*_{\bar{y}}+ \frac{1 + \cos (\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} S^*_{\bar{z}})

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasamos la derivada contravariante a covariante mediante la métrica:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

y como \Theta_X es un campo escalar, nos queda:

\Delta X^{\bar{x}} = 8 \pi f^{\bar{x} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{x} k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{x}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{x}} - \frac{1+\cos(\pi \bar{x})}{3a \pi} \partial_{\bar{x}} \Theta_X,

\Delta X^{\bar{y}} = 8 \pi f^{\bar{y} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{y} k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{y}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{y}} - \frac{1 +\cos(\pi \bar{y})}{3b \pi} \partial_{\bar{y}} \Theta_X,

\Delta X^{\bar{z}} = 8 \pi f^{\bar{z} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{z} k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{z}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{z}} - \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{3c \pi} \partial_{\bar{z}} \Theta_X.

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\bar{x} \bar{x}} = f^{\bar{x} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{x}} + f^{\bar{x} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{x}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{z}}) =

= \frac{4}{3 a \pi}(1+\cos(\pi \bar{x})) \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \frac{2}{3 b \pi}(1 + \cos(\pi \bar{y})) \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \frac{2}{3 c \pi}(1+\cos(\pi \bar{z})) \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}}

\hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} = f^{\bar{x} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{y}} + f^{\bar{y} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{x}} =

= \frac{1+\cos (\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{y}} + \frac{1+ \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{x}},

\hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} = f^{\bar{x} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{z}} + f^{\bar{z} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{z}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{x}} =

= \frac{1+\cos (\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{z}} + \frac{1+ \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{x}},

\hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} = f^{\bar{y} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{y}} + f^{\bar{y} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{y}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + 2 \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{z}}) =

= -\frac{2}{3a \pi}(1+\cos(\pi \bar{x})) \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{4}{3b \pi}(1 + \cos(\pi \bar{y})) \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \frac{2}{3c \pi}(1+\cos(\pi \bar{z})) \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}}

\hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} = f^{\bar{y} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{z}} + f^{\bar{z} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{z}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{y}} =

= \frac{1+\cos (\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{z}} + \frac{1+ \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{y}},

\hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} = f^{\bar{z} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{z}} + f^{\bar{z} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{z}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{y}} +2 \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{z}}) =

= -\frac{2}{3a \pi}(1+\cos(\pi \bar{x})) \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \frac{2}{3b \pi}(1 + \cos(\pi \bar{y})) \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{4}{3c \pi}(1+\cos(\pi \bar{z})) \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}}

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que comentamos en este post.

Compactificamos mediante \boxed{x_i = a_i \, \mbox{arctanh} \, \bar{x}_i }.

En este caso, el operador Laplaciano de todas las ecuaciones queda:

\Delta = \frac{(\bar{x}^2 - 1)^2}{a^2} \partial_{\bar{x} \bar{x}} + \frac{2 \bar{x}(\bar{x}^2 - 1)}{a^2} \partial_{\bar{x}} +

+ \frac{(\bar{y}^2 - 1)^2}{b^2} \partial_{\bar{y} \bar{y}} + \frac{2 \bar{y}(\bar{y}^2 - 1)}{b^2} \partial_{\bar{y}} +

+ \frac{(\bar{z}^2 - 1)^2}{c^2} \partial_{\bar{z} \bar{z}} + \frac{2 \bar{z}(\bar{z}^2 - 1)}{c^2} \partial_{\bar{z}}

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\bar{x}} S^*_{\bar{x}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} S^*_{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} S^*_{\bar{z}} ) =

= 6 \pi ( \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} S^*_{\bar{x}} + \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} S^*_{\bar{y}}+ \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} S^*_{\bar{z}})

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasamos la derivada contravariante a covariante mediante la métrica:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

y como \Theta_X es un campo escalar, nos queda:

\Delta X^{\bar{x}} = 8 \pi f^{\bar{x} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{x} k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{x}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{x}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{x}} - \frac{1}{3} \frac{|\bar{x}^2 - 1|}{a} \partial_{\bar{x}} \Theta_X,

\Delta X^{\bar{y}} = 8 \pi f^{\bar{y} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{y} k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{y}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{y}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{y}} - \frac{1}{3} \frac{|\bar{y}^2 - 1|}{b} \partial_{\bar{y}} \Theta_X,

\Delta X^{\bar{z}} = 8 \pi f^{\bar{z} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{z} k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{z}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{z}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{z}} - \frac{1}{3} \frac{|\bar{z}^2 - 1|}{c} \partial_{\bar{z}} \Theta_X.

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\bar{x} \bar{x}} = f^{\bar{x} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{x}} + f^{\bar{x} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{x}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{z}}) =

= \frac{2}{3}(\frac{2|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}}),

\hat{A}^{\bar{x} \bar{y}} = f^{\bar{x} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{y}} + f^{\bar{y} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{y}} + \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{x}} =

= \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{y}} + \frac{|\bar{y}^2 - 1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{x}},

\hat{A}^{\bar{x} \bar{z}} = f^{\bar{x} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{z}} + f^{\bar{z} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{x}} = \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{z}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{x}} =

= \frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{z}} + \frac{|\bar{z}^2 - 1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{x}},

\hat{A}^{\bar{y} \bar{y}} = f^{\bar{y} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{y}} + f^{\bar{y} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{y}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + 2 \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{z}}) =

= \frac{2}{3}(-\frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{2|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} - \frac{|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}}),

\hat{A}^{\bar{y} \bar{z}} = f^{\bar{y} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{z}} + f^{\bar{z} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{y}} = \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{z}} + \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{y}} =

= \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{z}} + \frac{|\bar{z}^2 - 1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{y}},

\hat{A}^{\bar{z} \bar{z}} = f^{\bar{z} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{z}} + f^{\bar{z} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{z}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \mathcal{D}_{\bar{y}} X^{\bar{y}} +2 \mathcal{D}_{\bar{z}} X^{\bar{z}}) =

= \frac{2}{3}(-\frac{|\bar{x}^2-1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} - \frac{|\bar{y}^2-1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{2|\bar{z}^2-1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}}).

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que las tratamos es este nuevo post.

Los cálculos para cilíndricas, esféricas, esféricas compactificadas y cartesianas compactificadas ya están términados. Para hacer una pequeña comprobación de que son correctos, vamos a calcular, en cada caso, como quedaría la divergencia de un campo vectorial \mathcal{D}_i X^i utilizando las derivadas covariantes encontrados en los enlaces anteriores y compararla con el resultado que obtendriamos utilizando la fórmula para la divergencia en coordenadas curvilineas q^i:

\nabla \cdot \mathbf{X} = \frac{1}{\Pi_j h_j} \frac{\partial}{\partial q^i} (X^i \Pi_{j \neq i} h_j).

\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_z \}

\mathcal{D}_i X^i = \mathcal{D}_r X^r + \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} + \mathcal{D}_{z} X^{z} = \partial_r X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \frac{1}{r} X^{\theta} + \partial_z X^z,

\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \partial_z \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_r X^r + \frac{1}{r} \partial_{\theta} X^{\theta} + \frac{1}{r} X^{\theta} + \partial_z X^z,

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCyl

\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_r X^r + \frac{2}{r} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{r} \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1}{r} \big [ r \partial_r X^r + 2 X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSph

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{r}} X^r + \frac{1+\bar{r}}{1-\bar{r}} \frac{2}{\bar{r}} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} \big [ (\bar{r} - \bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^r + 2 X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom1

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{r}} X^r + \frac{4 \bar{r}}{(1-\bar{r})^2 \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{1-\bar{r}^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r} } \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} \big [ (1-\bar{r}^2) \, \mbox{arctanh} \, \bar{r} \partial_{\bar{r}} X^r + 2 X^r +

+ \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom2

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\partial_{\bar{r}} X^r + ( \pi \tan \frac{\pi \bar{r}}{2} + 2 \pi \csc (\pi \bar{r} ) ) X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{r})}{a \pi} \partial_{\bar{r}} , \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \partial_{\theta} , \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \csc \theta \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \big [ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{r} ) }{\bar{r}} \tan \frac{\pi \bar{r}}{2} \partial_{ \bar{r} } X^r + 2 X^r +

+ \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom3

\{ \partial_{\bar{x}} , \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{2 \bar{x}}{1-\bar{x}^2} X^{\bar{x}} + \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{2 \bar{y}}{1-\bar{y}^2} X^{\bar{y}} + \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}} + \frac{2 \bar{z}}{1-\bar{z}^2} X^{\bar{z}},

\{ \frac{|\bar{x}^2 -1|}{a} \partial_{\bar{x}} , \frac{|\bar{y}^2 -1|}{b} \partial_{\bar{y}}, \frac{|\bar{z}^2 -1|}{c} \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{|\bar{x}^2 -1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{|\bar{y}^2 - 1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{|\bar{z}^2 - 1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}},

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCarCom1

\{ \partial_{\bar{x}} , \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{x}}{2} X^{\bar{x}} + \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{y}}{2} X^{\bar{y}} + \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{z}}{2} X^{\bar{z}}

\{ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{x} ) }{a \pi} \partial_{\bar{x}} , \frac{1 + \cos ( \pi \bar{y} ) }{b \pi} \partial_{\bar{y}}, \frac{1 + \cos ( \pi \bar{z} ) }{c \pi} \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1 + \cos ( \pi \bar{x} ) }{a \pi} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{1 + \cos ( \pi \bar{y} ) }{b \pi} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{1 + \cos ( \pi \bar{z} ) }{c \pi} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}},

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCarCom2

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Compactificaremos de dos manera diferentes:

\boxed{\boxed{x = a \, \mbox{arctanh} \, \bar{x}, y = b \, \mbox{arctanh} \, \bar{y}, z = c \, \mbox{arctanh} \, \bar{z} }}

Para la base \{ \partial_{\bar{x}}, \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan (utilizamos X,Y,Z en Mathematica para representar \bar{x},\bar{y},\bar{z}):

ChrSym_CarCom1

CovDer_CarCom1

Para la base \{ \frac{|-1+\bar{x}^2|}{a} \partial_{\bar{x}}, \frac{|-1+\bar{y}^2|}{b} \partial_{\bar{y}}, \frac{|-1+\bar{z}^2|}{c} \partial_ {\bar{z}}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_CarComNor1

CovDer_CarComNor1

\boxed{\boxed{x = a \tan \frac{\pi \bar{x}}{2}, b \tan \frac{\pi \bar{y}}{2}, c \tan \frac{\pi \bar{z}}{2} }}

Para la base \{ \partial_{\bar{x}}, \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_CarCom2

CovDer_CarCom2

Para la base \{ \frac{1+\cos (\pi \bar{x})}{a \pi} \partial_{\bar{x}}, \frac{1 + \cos(\pi \bar{y})}{b \pi} \partial_{\bar{y}}, \frac{1 + \cos(\pi \bar{z})}{c \pi} \partial_ {\bar{z}}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_CarComNor2

CovDer_CarComNor2

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Compactificaremos de tres manera diferentes:

\boxed{\boxed{r = \frac{a \bar{r}}{1 - \bar{r}}}} (y no \frac{a \bar{r}}{a - \bar{r}} como escribimos en este post)

Para la base \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan (\bar{r} lo representamos mediante R en Mathematica):

ChrSym_SphCom

CovDer_SphCom

Para la base \{ \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}}\csc \theta \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphComNor

CovDer_SphComNor

\boxed{\boxed{r=a\, \mbox{arctanh} \bar{r}}}

Para la base \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_SphCom2

CovDer_SphCom2

Para la base \{ \frac{1-\bar{r}^2}{a}\partial_{\bar{r}}, \frac{1}{a\, \mbox{\scriptsize arctanh}\, \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{a\, \mbox{\scriptsize arctanh} \,\bar{r}} \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphComNor2

CovDer_SphComNor2

\boxed{\boxed{r = a \tan \frac{\pi \bar{r}}{2}}}

Para la base \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_SphCom3

CovDer_SphCom3

Para la base \{ \frac{1+\cos \pi \bar{r}}{a \pi} \partial_{\bar{r}}, \frac{\cot \frac{\pi \bar{r}}{2}}{a} \partial_{\theta}, \frac{\cot \frac{\pi \bar{r}}{2}}{a} \csc \theta \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphComNor3

CovDer_SphComNor3

Seguimos utilizando la misma función mencionada aquí.

Para la base \{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

   ChrSym_Sph

CovDer_Sph

Para la base \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{r} \partial_ {\varphi}\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_SphNor

CovDer_SphNor

Ya tenemos nuestra función lista para realizar todos estos cálculos de manera automática.

Para la base \{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_z\}, los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes quedan:

ChrSym_Cyl

CovDer_Cyl

Para la base \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \partial_ z\}, los coeficientes de rotación de Ricci y las derivadas covariantes quedan:

RotRic_CylNor

CovDer_CylNor

Para una tríada (tétrada) \{ \hat{e}_i \}, podemos calcular sus coeficientes de estructura c_{ij}^{\phantom{ij}k}: escribimos su corchete de Lie en función de los elementos de la tríada (tétrada):

[\hat{e}_i, \hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k.

En el caso de la tríada (tétrada) correspondiente a las esféricas normalizadas:

\{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \},

tenemos:

[\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}] = -[\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}] =

= \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) \partial_{\theta} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} (\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}) \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [\partial_{\bar{r}},\partial_{\theta}] =

-\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\theta},

[\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}] = - [\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}, \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}] =

= \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta) \partial_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} (\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}) \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [\partial_{\bar{r}},\partial_{\theta}] =

= -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\varphi},

[\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}] = - [\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}] =

= \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} ( \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta ) \partial_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} ) \partial_{\theta} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [\partial_{\theta} ,\partial_{\varphi}] =

= -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \hat{e}_{\varphi}.

De esta manera, tenemos:

[\hat{e}_{\bar{r}}, \hat{e}_{\theta}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\theta} = c_{\hat{\bar{r}}\hat{\theta}}^{\phantom{r \theta} \hat{\theta}} = -c_{\hat{\theta} \hat{\bar{r}}}^{\phantom{\theta r} \hat{\theta}},

[\hat{e}_{\bar{r}}, \hat{e}_{\varphi}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\varphi} = c_{\hat{\bar{r}}\hat{\varphi}}^{\phantom{r \varphi} \hat{\varphi}} = -c_{\hat{\varphi} \hat{\bar{r}}}^{\phantom{\varphi r} \hat{\varphi}},

[\hat{e}_{\theta}, \hat{e}_{\varphi}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \hat{e}_{\varphi} = c_{\hat{\theta}\hat{\varphi}}^{\phantom{\theta \varphi} \hat{\varphi}} = -c_{\hat{\varphi} \hat{\theta}}^{\phantom{\varphi \theta} \hat{\varphi}},

Considerando las dos bases, holonómica y ortonormal, para el espacio tangente introducidas en este post:

\{ e_i \} = \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \},

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}\partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \},

tenemos que:

\hat{e}_1 = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}e_1, \hat{e}_2 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} e_2 y \hat{e}_3 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta e_3,

y, por tanto:

A_{\hat{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \end{array}  \right) i A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc}  \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} \sin \theta  \end{array}  \right).

Vamos a encontrar la expresión de las derivadas covariante en la base normalizada mediante cambios de base. Antes de empezar, dos consideraciones: en primer lugar, T^i y T^{\hat{i}} son tensores una vez contravariante, o lo que es lo mismo, son campos vectoriales. Por la linealidad de la conexión, podemos centrarnos en la derivada covariante de los elementos de la base. En segundo lugar, las derivadas parciales no afectan a los escalares, que están sobre la variedad y no en el espacio tangente.

Empezamos:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

\partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}}(\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} =

= -\frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

con lo que:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}}}.

Para:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

\partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta}) + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}} T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}}) + \frac{a}{a\bar{r} -\bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}} =

= \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = -\frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

tenemos:

\frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} \Leftrightarrow \boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}}}

Procediendo de la misma manera, obtenemos:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} - T^{\hat{\theta}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} + T^{\hat{\bar{r}}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} - \sin \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} - \cos \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} + \sin \theta T^{\hat{\bar{r}}} + \cos \theta T^{\hat{\theta}} }.

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