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Variedades y métricas

marzo 6, 2013 in Física, Geometría, Matemáticas, Relatividad | Tags: conexión, corchete Lie, derivada Lie, fibrado cotangente, fibrado tangete, grupo Lie, métrica, primera forma fundamental, tensor métrico, variedad abstracta, variedad Riemann | Deja un comentario

Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $(M,g)$ , donde $M$ es una variedad diferencial abstracta y $g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

Cálculo de la derivada de Lie de la diferencial exterior de una n-forma.

septiembre 29, 2012 in Geometría, Matemáticas | Tags: derivada Lie | 2 comentarios

En el cáculo de este post, como $\mathcal{L}_X d\alpha = d \mathcal{L}_X \alpha$ , y en este caso conocemos $\alpha$ , también podemos hacer:

$\mathcal{L}_{[X,Y]}d \alpha = d\mathcal{L}_Z \alpha = d \big [ \mathcal{L}_{(-4 \frac{\partial}{\partial x} - 12y \frac{\partial}{\partial z})} (2xy\,dz - z \, dx \big ])$

Calculamos, en primer lugar, $\mathcal{L}_Z \alpha$ :

$\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) - \mathcal{L}_Z (z \, dx)$

Por una parte, tenemos:

$\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) = (\mathcal{L}_Z 2xy) \, dz + 2xy \, \mathcal{L}_Z dz =$

$= (-4 \frac{\partial}{\partial x} 2xy - 12y \frac{\partial}{\partial z} 2xy ) \, dz + 2xy \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) =$

$= -24xy \, dy - 8y \, dz$

Y por otra:

$\mathcal{L}_Z (z \, dx) = \mathcal{L}_Z z \, dx + z \, \mathcal{L}_Z dx =$

$= (-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) \, dx + z \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} x - 12y \frac{\partial}{\partial z} x) =$

$= -12y \, dx$

Por lo tanto, tenemos:

$12y \, dx -24xy \,dy - 8y \, dz$

Finalmente, solo queda calcular:

$d \big [ 12y \, dx -24xy \,dy - 8y \, dz \big ] =$

$= 12 \, dy \wedge dx - 24 \, d(xy) \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz =$

$12 \, dy \wedge dx - 24 \, (y \, dx + x \, dy) \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz =$

$-12(2y + 1) \, dx \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz$

ya que $-24x \, dy \wedge dy = 0$ por la propiedad de que $d^2 = 0$ , obteniendo así el mismo resultado que anteriormente.

Cálculos típicos en variedades diferenciables: la derivada de Lie.

septiembre 28, 2012 in Geometría, Matemáticas | Tags: derivada Lie | Deja un comentario

Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos $\mathcal{L}_{[X,Y]} \beta$ con $\beta := d \alpha$ ?

Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados:

$Z:=[X,Y] = -4 \frac{\partial}{\partial x} -12y \frac{\partial}{\partial z}$

y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos la $2$ -forma resultante de calcular la diferencial exterior de la $1$ -forma::

$\beta = 2y+1\,dx \wedge dz + 2x\,dy\wedge dz$

y finalmente calcular la derivada de Lie de la forma respecto del campo.

Todos los cálculos se reduciran a saber aplicar la derivada de Lie a funciones, campos vectoriales y a la diferencial exterior de $1-$ formas sabiendo que es una derivación: