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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos (M,g), donde M es una variedad diferencial abstracta y g es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

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En el cáculo de este post, como \mathcal{L}_X d\alpha = d \mathcal{L}_X \alpha, y en este caso conocemos \alpha, también podemos hacer:

\mathcal{L}_{[X,Y]}d \alpha = d\mathcal{L}_Z \alpha = d \big [ \mathcal{L}_{(-4 \frac{\partial}{\partial x} - 12y \frac{\partial}{\partial z})} (2xy\,dz - z \, dx \big ])

Calculamos, en primer lugar, \mathcal{L}_Z \alpha:

\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) - \mathcal{L}_Z (z \, dx)

Por una parte, tenemos:

\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) = (\mathcal{L}_Z 2xy) \, dz + 2xy \, \mathcal{L}_Z dz =

= (-4 \frac{\partial}{\partial x} 2xy - 12y \frac{\partial}{\partial z} 2xy ) \, dz + 2xy \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) =

= -24xy \, dy - 8y \, dz

Y por otra:

\mathcal{L}_Z (z \, dx) = \mathcal{L}_Z z \, dx + z \, \mathcal{L}_Z dx =

= (-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) \, dx + z \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} x - 12y \frac{\partial}{\partial z} x) =

= -12y \, dx

Por lo tanto, tenemos:

12y \, dx -24xy \,dy - 8y \, dz

Finalmente, solo queda calcular:

d \big [ 12y \, dx -24xy \,dy - 8y \, dz \big ] =

= 12 \, dy \wedge dx - 24 \, d(xy) \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz =

12 \, dy \wedge dx - 24 \, (y \, dx + x \, dy) \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz =

-12(2y + 1) \, dx \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz

ya que -24x \, dy \wedge dy = 0 por la propiedad de que d^2 = 0, obteniendo así el mismo resultado que anteriormente.

Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos \mathcal{L}_{[X,Y]} \beta con \beta := d \alpha?

Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados:

Z:=[X,Y] = -4 \frac{\partial}{\partial x} -12y \frac{\partial}{\partial z}

y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos  la 2-forma resultante de calcular la diferencial exterior de la 1-forma::

\beta = 2y+1\,dx \wedge dz + 2x\,dy\wedge dz

y finalmente calcular la derivada de Lie de la forma respecto del campo.

Todos los cálculos se reduciran a saber aplicar la derivada de Lie a funciones, campos vectoriales y a la diferencial exterior de 1-formas sabiendo que es una derivación:

  1. \mathcal{L}_Xh = X(h)
  2. \mathcal{L}_XY = [X,Y]
  3. \mathcal{L}_X d\alpha = d \mathcal{L}_X (\alpha)

de manera que:

\mathcal{L}_Z \beta = \mathcal{L}_Z (2y+1\,dx \wedge dz + 2x\,dy\wedge dz) =

\mathcal{L}_Z (2y+1 \, dx \wedge dz) + \mathcal{L}_Z (2x \, dy \wedge dz) =

\mathcal{L}_Z(2y+1) \, dx \wedge dz + (2y +1) \mathcal{L}_Z(dx) \wedge dz + (2y+1) \, dx \wedge \mathcal{L}_Z(dz) +

\mathcal{L}_Z(2x) \, dy \wedge dz + 2x \mathcal{L}_Z(dy) \wedge dz + 2x \, dy \wedge \mathcal{L}_Z(dz)).

Para evitar errores, calculamos separadamente cada derivada de Lie:

\mathcal{L}_Z (2y+1) = Z(2y+1) = [X,Y](2y+1) = (-4 \frac{\partial}{\partial x} -12y \frac{\partial}{\partial z})(2y+1) =

= -4 \frac{\partial}{\partial x}(2y+1) -12y \frac{\partial}{\partial z}(2y+1) = 0

\mathcal{L}_Z (dx) = d \mathcal{L}_Z x = d([X,Y](x)) = d(-4 \frac{\partial}{\partial x}x -12y \frac{\partial}{\partial z}x) = d(-4)=0

\mathcal{L}_Z(dz) = d \mathcal{L}_Z z = d([X,Y](z) = d(-4 \frac{\partial}{\partial x}z -12y \frac{\partial}{\partial z}z)) = -12 dy

\mathcal{L}_Z (2x) = [X,Y](2x) = -4 \frac{\partial}{\partial x}2x -12y \frac{\partial}{\partial z}2x = -8

\mathcal{L}_Z (dy) = d \mathcal{L}_Z y = d([X,Y](y)) = d(-4 \frac{\partial}{\partial x}y -12y \frac{\partial}{\partial z}y) = 0

\mathcal{L}_Z(dz) = -12 dy

Por lo que, finalmente, tenemos:

-12(2y+1) \, dx \wedge dy - 24 \, dy \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz

y como d^2 = 0, nos queda:

-12(2y+1) \, dx \wedge dy -8 \, dy \wedge dz

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