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The differential equations of Stellar Evolution

julio 7, 2017 in Uncategorized | 2 comentarios

Asumiendo una estrella con simetría esférica y en complete equilibrium (hydrostatic equilibrium + thermally adjusted), las ecuaciones diferenciales básicas que nos darán su estructura son:

$\frac{\partial}{\partial m}r = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho}$

$\frac{\partial}{\partial m}P = - \frac{G m}{4 \pi r^4}$

$\frac{\partial}{\partial m}l = \varepsilon_n + \varepsilon_\nu$

$\frac{\partial}{\partial m}T = - \frac{G m T}{4 \pi r^4 P} \nabla$

donde $\nabla = \frac{d \ln T}{d \ln P}$ . Queremos encontrar funciones solución para la distancia radial $r(m)$ , para la presión $P(m)$ , para la energía $l(m)$ y para la temperatura $T(m)$ donde $0 \leq m \leq M$ , siendo $M$ la masa total de la estrella. Necesitamos conocer los valores en la frontera de las funciones incógnita, esto es, $r(0), P(0), l(0), T(0), r(M), P(M), l(M), T(M)$ . A través de la relación de operadores

$\frac{\partial}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho} \frac{\partial}{\partial r}$

deberíamos de recuperar las ecuaciones de la hidrodinámica en steady-state expresadas en su forma habitual.

Podemos discretizarlas a primer orden:

$\frac{r_{i} - r_{i-1}}{\Delta m} = \frac{1}{4 \pi r_{i/2}^2 \rho_i}$

$\frac{P_{i} - P_{i-1}}{\Delta m} = - \frac{G m_i}{4 \pi r_{i/2}^4}$

$\frac{l_{i} - l_{i-1}}{\Delta m} = (\varepsilon_n)_i + (\varepsilon_\nu)_i$

$\frac{T_{i} - T_{i-1}}{\Delta m} = - \frac{G m_{i} T_{i/2}}{4 \pi r_{i/2}^4 P_{i/2}} \nabla_{i/2}$

Si despejamos las variables en el punto $i$ de la discretización, obtenemos:

$r_{i}^{*} = \Delta m \frac{1}{4 \pi r_{i/2}^2 \rho_i} + r_{i-1}$

$P_{i}^{*} = - \Delta m \frac{ G m_i}{4 \pi r_{i/2}^4} + P_{i-1}$

$l_{i}^{*} = \Delta m [ (\varepsilon_n)_i + (\varepsilon_\nu)_i] + l_{i-1}$

$T_{i}^{*} = - \Delta m \frac{G m_{i} T_{i/2}}{4 \pi r_{i/2}^4 P_{i/2}} \nabla_{i/2} + T_{i-1}$

y con esto, podemos obtener esquemas con factor de relajación:

$r_{i}^{k} = (1 - \omega) r_{i}^{k-1} + \omega r_{i}^{*}$

$P_{i}^{k} = (1 - \omega) P_{i}^{k-1} + \omega P_{i}^{*}$

$l_{i}^{k} = (1 - \omega) l_{i}^{k-1} + \omega l_{i}^{*}$

$T_{i}^{k} = (1 - \omega) T_{i}^{k-1} + \omega T_{i}^{*}$

Improved Numerical Methods for Elliptic Problems in Astrophysics

julio 7, 2017 in Uncategorized | 1 comentario

Este es el título de mi tesis para optar al grado de Doctor en Física. La defensa será el próximo día 19 de Julio a las 12h en el Salón de Grados «Manuel Valdivia» de la Facultat de Ciències Matemàtiques de la Universitat de València. Estáis todos invitados 😉