24 | agosto | 2012 | Adsu's Blog

La siguiente operación en física:

$a+b+c = d+e$

solamente la podremos realizar si todas las variables están en las mismas unidades. En física solemos medir longitudes ( $L$ ), masas ( $M$ ), tiempos ( $T$ ), temperaturas ( $K$ ), etc. La idea es disponer de unas unidades de manera que ciertas constantes universales tomen el valor $1$ simplificando así algunas ecuaciones físicas.

Dada la ecuación $v=\frac{d}{dt}x$ podemos escribir la correspondiente ecuación de dimensión $[v] = \frac{L}{T} = L T^{-1}$ . De la misma manera, nos quedaria $[a] = L T^{-2}$ para las aceleraciones.

Sabemos que la velocidad de la luz en el vacío $c = 3 \times 10^{10} \frac{cm}{s}$ en el sistema cegesimal (CGS: cm, g, s) y su ecuación dimensional es $[c] = LT^{-1}$ . Si queremos conseguir $c=1$ , ¿qué unidades de longitud y tiempo necesitamos? Suponiendo que la longitud la continuamos midiendo en $cm$ , aunque lo denotamos ahora con $uL$ , vamos a definir una unidad de tiempo $uT$ de manera que $c=1$ :

$3 \times 10^{10} \frac{uL}{s} \times \frac{1}{x} \frac{s}{uT} = 1 \frac{uL}{uT} \Leftrightarrow 1 uT = \frac{1}{3 \times 10^{10}} s$

Por lo que en $uL$ y $uT$ hemos conseguido que $c=1$ .

Tenemos que la constante de gravitación universal $G = 6.67 \times 10^{-8} \frac{cm^3}{g s^2}$ en el sistema CGS, con $[G] = L^3 M^{-1} T^{-2}$ . Si hacemos:

$6.67 \times 10^{-8} \frac{uL^3}{g s^2} \times \frac{1}{(3 \times 10^{10})^2} \frac{s^2}{uT^2} \times \frac{1}{x} \frac{g}{uM}=1 \frac{uL^3}{uM uT^2}$

tenemos que $x = \frac{2.2}{3} \times 10^{-28}$ y nos queda que $1 g = \frac{2.2}{3} \times 10^{-28} uM$ . Así pués, $G=1$ en estas nuevas unidades.

Si prodecemos de esta manera hasta conseguir que $c = G = k_B = 1$ , donde $k_B$ es la constante de Boltzmann, obtenemos las unidades geometrizadas. Si lo hacemos para $c =k_B=h=1$ , donde $h$ es la constante de Planck, obtenemos las unidades naturales.

L	M	X	J	V	S	D
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

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Análisis dimensional: unidades geometrizadas y unidades naturales.

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